設f：R→R 為一函數，滿足對任意一個x,y屬於R 有f (f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy。証明
(a)for any z in f(Z)=>f(z)=z
(b)for any x,y in R=>f(x)f(y)-xy=0
(c)for any x in R=>f(x)=x ( ps R為實數集 Z為整數集)
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7 則留言:
懷疑題目有問題, 請問題目出處, 因為只需證明存在固定點, 不管是不是落在 f(Z), 則可推論 f(0)=0, 然後直接得到最終結論, 沒有理由分成這三小題.
不好意思~有人可以解釋一下題目嗎?
我怎麼連題目都看不太懂了啊>"<
虧我這邊還讀過一遍了...
我嘗試分析了一下題目，目前想法跟凱一樣。
這是我們學校期中的考題...他說是奧林匹亞的題目...拿來當其中考我也無言阿...題目就是這樣沒錯...
令 y=0 得到
f(f(x))=(1+f(0))f(x) (*)
=> f(f(x+y))=(1+f(0))f(x+y)
根據原式得到
f(x+y)f(0)=f(x)f(y)-xy (**)
令 y=-x 則
f(0)^2=f(x)f(-x)+x^2
令 x=f(0)
=> f(f(0))f(-f(0))=0
所以 f(f(0))=0 or f(-f(0))=0
(i)若 f(f(0))=0, x=f(0) 代入(*)得到
f(0)=f(f(f(0)))=(1+f(0))f(f(0))=0
(ii)若 f(-f(0))=0, x=-f(0) 代入(*)得到
f(0)=f(f(-f(0)))=(1+f(0))f(-f(0))=0
故 f(0)=0
x=y代入 (**) => f(x)=x or f(x)=-x
check 之後可以發現 f(x)=x.
感謝凱的証明讓我得知f(0)=0 我再將其3小提完整証出來..
(a)for any z屬於f(Z)則存在x屬於Z使得
z=f(x)
則f(z)=f(f(x))=(1+f(0))f(x)=f(x)=z
(b)f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy
=(1+f(0))f(x+y)=f(x+y)
故 f(x)f(y)-xy=0
(c)Given any x屬於R and z屬於f(Z)
則f(x)f(z)-xz=0
則f(x)z-xz=0
故f(x)=x
我給的結論就是你的最終結論, f(x)=x for all x in R.
關於你的證明, 有一些問題
(a)沒問題, 不過事實上對所有落在 image of f 的點都是固定點, 並不限制在整數上; 也就是說 f(f(x))=f(x) for all x in R.
(b)不需這麼複雜, by (a), 我們知道 f(f(x+y))=f(x+y) for all x,y in R. 根據原式就可以得到 f(x)f(y)-xy=0 for all x,y in R.
(c)你的證明有點瑕疵, f(x)z-xz=0 => f(x)=x 這一步你是消掉 z 而得到的, 這個 z 是落在 image of f 的, 換句話說令原本的 y = f(a) 得到 f(x)f(f(a)) - xf(a)=0 => f(x)f(a) = xf(a). 但是我們不知道 f(a) 會不會是零, 有可能image of f 只有零點, 而 0 本來就是 f 的固定點, 所以 f(a) 有可能只有零, 這樣的話就無法經由消去 f(a) 而得到 f(x)=x.
所以你給的證明無法證明最終結論, 利用我證明中的 (**) 式, 也就是 (b) 的結論, 並令 y=x 可以得到 f(x)^2 - x^2=0 => f(x)=x or f(x)=-x 然後後者不合, 這也就是我之前給的證明.
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