Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
矩陣的交換性、消去性，不一定會成立...所以我覺得應該想成，兩邊同乘 "A的inverse"，再利用結合性，所以(1),(2)兩題為True第三題應該是 False，因為矩陣交換性不一定成立
順便問個類似題...春季班第一章小考If AB=AC and A is nonsingular, then B=C這題是T or F?題目沒說 A是否為方陣，所以應該無法用可逆來證吧? 但是反例又想不出來 @_@
若A是nosingular 且A要是方陣，則A才會可逆所以 "假設A是mxn矩陣，A is nonsingular =>A是可逆 "，應該會有問題
第三題是我自己掰出來的,我原本的想法是:AB(A^-1) 因為A可逆,所以AB=BA原式=BA(A^-1)=BABC(A^-1) 因為A可逆,所以AB=BA C(A^-1)=(A^-1)C原式=BA(A^-1)C=BC不過後來我發現我定義弄錯了.我把定理1-6錯看成A可逆的話AB=BA這式成立前提是B要是A的inverse
TO:janjapeter說得沒錯，感覺方向好像怪怪的。nonsigular+方陣=invertible因此方陣時，invertible<=>nongigular。但非方陣時，nonsigular不見得是invertible，換句話說invertible保證nonsigular，但nonsigular不保證invertible。
對..一定要是n*n矩陣,且該矩陣與其inverse相等,叫做nonsingular.nonsingular定義是該矩陣具有零解.所以有可能不為方陣.if n*n matrix 且 可逆 =>nonsingular但nonsingular =\=> 可逆 因有可能不是方陣
我的想法與你們不太一樣，但不知我這樣證對不對，我自已感覺心理毛毛的=.=，可能我經驗也不夠吧╯﹏╰definition：AX=0，X只有0解，稱A：nonsigularproof： 已知A：nonsigular 若AB=0=AC=>B=0 and C=0=>B=C得證。不知會不會不當使用:P
其怪我的帳號怎麼還沒審核通過呀!有好多問題不懂要問喔╯﹏╰
恩恩，我那樣證的確是錯的，沒有想清楚。
to:般若三昧 definition： AX=0，X只有0解，稱A：nonsigular proof： 已知A：nonsigular 若AB=0=AC =>B=0 and C=0 =>B=C具有0解應該不能代表AB=0喔...應該是這樣子...--If AB=AC and A is nonsingular, then B=C剛跟同學討論這題的結果:A是nonsingular,但他不一定為方陣,所以不可逆,但他具有0解的話,因為m＜n的矩陣解為無限多種,所以此矩陣m＞n.根據定理4-27所以他具左反,所以剛好可以在等式兩邊的前面加上A^-1 所以B=C 囧..是這樣嗎?
我覺得會不會是我們想太多了呀，其實跟本有可能是題目少給了條件。因為我在網路上也有看到同樣的題目耶。它是一個連鎖命題，題目是：(1)Prove that if one row(column) of the n×n matrix A consists entirely of zero then A is singular(2)Show that if AB=AC and A is nonsigular then B=Csolution： (A^-1)AB=(A^-1)AC=> IB=IC=> B=C也就是說從第一小題就繼承下來第二小題了，第一小題早就告訴我們A is nxn matrix了。而第二小題又知A is nonsigular & A：nxn <=> A：invertible我覺得當初這考題好像是從哪copy過來的，但忘了加上條件耶。假如是如此的話，那當初算對的人真是神了！他一定是把invertible<=>nonsigular了，剛好賽到就對了。不然沒給A：nxn，應該是無解吧！把自已搞得進入到infinite loop，我想到頭都快爆炸了。無言...╯﹏╰ 至於是不是真的少給條件，我不知。但我看到的案例是有給的A：nxn
我有寫我的證明在word裡，不過要把它弄成圖片檔好難，所以我只好放到網路空間，麻煩各位，下載看看我的證明對不對 http://mail.cs.nchu.edu.tw/~s9356033/question.doc(直接把它貼到瀏覽器的網址就可以下載了)
我的證明是peter問的那題If AB=AC and A is nonsingular, then B=C
首先; 要注意的是對 nonsingular 的定義, "只有零解這句話"的前面是有個前提的, 就是"Ax=0". 也許大家都知道有這個前提, 不過在說明的時候, 最好說明完整, 以免其他閱讀的人誤會.再來; 我們知道 AB=AC => AB-AC=0 => A(B-C)=0. 所以 A is nonsingluar 可以讓我們得到 B-C=0.
非奇異矩陣就是可逆矩陣
If AB=AC and A is nonsigular then B=Cpf：A:nonsigular<=>AX=0，X只有0解AB=AC=>AB-AC=0=>A(B-C)=0=>∵A is nonsigular=>B-C=0=>B=C了解了，當初沒想到"移項"過去~.~謝謝"凱"指點迷津. tO:c非奇異矩陣怎麼可能就是可逆矩陣呢？非奇異矩陣有可能是mxn，一個m≠n矩陣絕不可能同時有左右反。但予許一個左反or右反。 即然都m≠n還有可能是可逆呢？你說錯了吧
凱跟般...的觀念並沒有太大錯誤, 不過有些東西還是要說明一下, 這裡的B跟C是矩陣, 不是向量, 我再補充一下, 就A(B-C) = 0這句話來說, 因為A為nonsingular, 所以A具左反L使得LA = I, 因此LA(B-C) = 0=> B - C = 0=> B = C當然也可以把B-C利用行切再去證B-C=0, 其實觀念都是一樣的
word要貼圖很簡單step 1: 在word按ctrl A, 後按ctrl Cstep 2: 開小畫家按ctrl Vstep 3: 存成gif或jpeg檔
我剛在網路上查了一下反矩陣的定義:一n*n矩陣A為可逆(invertible)或為非奇異(nonsingular)，若存在一n*n矩陣B，使得AB=BA=I在這裡I為一n階單位矩陣。矩陣B被稱為A的反矩陣。沒有反矩陣的矩陣被稱為不可逆(noninvertible)或奇異(singular)。請問非奇異的定義是如上呢?還是nonsingular定義是該矩陣具有零解.所以有可能不為方陣謝解惑 謝謝
To C你網路上查的沒有錯1.可逆矩陣必為方陣,方陣不一定 為可逆矩陣. 反矩陣必為方陣且可逆.2.nonsingular矩陣可以有左反或 右反或左右反,所以不一定是方陣3.nonsingular定義 (上課筆記) <=> AX(向量)=0只有零解,稱A為 nonsingular,A對所有X相乘都 必須滿足零矩陣4.A:singular定義(上課筆記)<=> 存在X不等於向量0使得 AX=0,AX=0具非零解
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矩陣的交換性、消去性，不一定會成立...
所以我覺得應該想成，兩邊同乘 "A的inverse"，再利用結合性，所以(1),(2)兩題為True
第三題應該是 False，因為矩陣交換性不一定成立
順便問個類似題...
春季班第一章小考
If AB=AC and A is nonsingular, then B=C
這題是T or F?
題目沒說 A是否為方陣，所以應該無法用可逆來證吧?
但是反例又想不出來 @_@
若A是nosingular 且A要是方陣，則A才會可逆
所以 "假設A是mxn矩陣，A is nonsingular =>A是可逆 "，應該會有問題
第三題是我自己掰出來的,我原本的想法是:
AB(A^-1) 因為A可逆,所以AB=BA
原式=BA(A^-1)=B
ABC(A^-1) 因為A可逆,所以AB=BA C(A^-1)=(A^-1)C
原式=BA(A^-1)C=BC
不過後來我發現我定義弄錯了.
我把定理1-6錯看成A可逆的話AB=BA
這式成立前提是B要是A的inverse
TO:janja
peter說得沒錯，感覺方向好像怪怪的。
nonsigular+方陣=invertible
因此方陣時，invertible<=>nongigular。
但非方陣時，nonsigular不見得是invertible，換句話說invertible保證nonsigular，但nonsigular不保證invertible。
對..一定要是n*n矩陣,且該矩陣與其inverse相等,叫做nonsingular.
nonsingular定義是該矩陣具有零解.
所以有可能不為方陣.
if n*n matrix 且 可逆 =>nonsingular
但nonsingular =\=> 可逆 因有可能不是方陣
我的想法與你們不太一樣，但不知我這樣證對不對，我自已感覺心理毛毛的=.=，可能我經驗也不夠吧╯﹏╰
definition：
AX=0，X只有0解，稱A：nonsigular
proof：
已知A：nonsigular
若AB=0=AC
=>B=0 and C=0
=>B=C
得證。不知會不會不當使用:P
其怪我的帳號怎麼還沒審核通過呀!
有好多問題不懂要問喔╯﹏╰
恩恩，我那樣證的確是錯的，沒有想清楚。
to:般若三昧
definition：
AX=0，X只有0解，稱A：nonsigular
proof：
已知A：nonsigular
若AB=0=AC
=>B=0 and C=0
=>B=C
具有0解應該不能代表AB=0喔...應該是這樣子...
--
If AB=AC and A is nonsingular, then B=C
剛跟同學討論這題的結果:
A是nonsingular,但他不一定為方陣,所以不可逆,但他具有0解的話,因為m＜n的矩陣解為無限多種,所以此矩陣m＞n.根據定理4-27所以他具左反,所以剛好可以在等式兩邊的前面加上A^-1 所以B=C
囧..是這樣嗎?
我覺得會不會是我們想太多了呀，其實跟本有可能是題目少給了條件。因為我在網路上也有看到同樣的題目耶。
它是一個連鎖命題，題目是：
(1)Prove that if one row(column) of the n×n matrix A consists entirely of zero then A is singular
(2)Show that if AB=AC and A is nonsigular then B=C
solution：
(A^-1)AB=(A^-1)AC
=> IB=IC
=> B=C
也就是說從第一小題就繼承下來第二小題了，第一小題早就告訴我們A is nxn matrix了。而第二小題又知A is nonsigular & A：nxn <=> A：invertible
我覺得當初這考題好像是從哪copy過來的，但忘了加上條件耶。假如是如此的話，那當初算對的人真是神了！他一定是把invertible<=>nonsigular了，剛好賽到就對了。不然沒給A：nxn，應該是無解吧！把自已搞得進入到infinite loop，我想到頭都快爆炸了。無言...
╯﹏╰
至於是不是真的少給條件，我不知。但我看到的案例是有給的A：nxn
我有寫我的證明在word裡，不過要把它弄成圖片檔好難，所以我只好放到網路空間，麻煩各位，下載看看我的證明對不對 http://mail.cs.nchu.edu.tw/~s9356033/question.doc
(直接把它貼到瀏覽器的網址就可以下載了)
我的證明是peter問的那題
If AB=AC and A is nonsingular, then B=C
首先; 要注意的是對 nonsingular 的定義, "只有零解這句話"的前面是有個前提的, 就是"Ax=0". 也許大家都知道有這個前提, 不過在說明的時候, 最好說明完整, 以免其他閱讀的人誤會.
再來; 我們知道 AB=AC => AB-AC=0 => A(B-C)=0. 所以 A is nonsingluar 可以讓我們得到 B-C=0.
非奇異矩陣就是可逆矩陣
If AB=AC and A is nonsigular then B=C
pf：
A:nonsigular<=>AX=0，X只有0解
AB=AC
=>AB-AC=0
=>A(B-C)=0
=>∵A is nonsigular
=>B-C=0
=>B=C
了解了，當初沒想到"移項"過去~.~
謝謝"凱"指點迷津.
tO:c
非奇異矩陣怎麼可能就是可逆矩陣呢？非奇異矩陣有可能是mxn，一個m≠n矩陣絕不可能同時有左右反。但予許一個左反or右反。 即然都m≠n還有可能是可逆呢？你說錯了吧
凱跟般...的觀念並沒有太大錯誤, 不過有些東西還是要說明一下, 這裡的B跟C是矩陣, 不是向量, 我再補充一下, 就A(B-C) = 0這句話來說, 因為A為nonsingular, 所以A具左反L使得LA = I, 因此LA(B-C) = 0
=> B - C = 0
=> B = C
當然也可以把B-C利用行切再去證B-C=0, 其實觀念都是一樣的
word要貼圖很簡單
step 1: 在word按ctrl A, 後按ctrl C
step 2: 開小畫家按ctrl V
step 3: 存成gif或jpeg檔
我剛在網路上查了一下
反矩陣的定義:
一n*n矩陣A為可逆(invertible)或為非奇異(nonsingular)，若存在一n*n矩陣B，使得
AB=BA=I
在這裡I為一n階單位矩陣。矩陣B被稱為A的反矩陣。沒有反矩陣的矩陣被稱為不可逆(noninvertible)或奇異(singular)。
請問非奇異的定義是如上呢?
還是nonsingular定義是該矩陣具有零解.
所以有可能不為方陣
謝解惑 謝謝
To C
你網路上查的沒有錯
1.可逆矩陣必為方陣,方陣不一定
為可逆矩陣.
反矩陣必為方陣且可逆.
2.nonsingular矩陣可以有左反或
右反或左右反,所以不一定是方陣
3.nonsingular定義
(上課筆記)
<=>
AX(向量)=0只有零解,稱A為
nonsingular,A對所有X相乘都
必須滿足零矩陣
4.A:singular定義(上課筆記)<=>
存在X不等於向量0使得
AX=0,AX=0具非零解
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