p4-26 ~範例7:
(b)小題
我的解法跟老師的不同
不過解出來的答案不對
我是這樣解的
T(1,p,q)=(1,0)=(-2)*(0,1)+0*(-1,5)+1*(1,2)
=(-2)*T(1,1,0)+0*T(0,1,1)+1*T(1,0,1)
=T(-2(1,1,0)+0(0,1,1)+1(1,0,1))
所以 (1,p,q)=(-1,-2,1) 卻出現矛盾
然後看了定理3(p4-8)
覺得是因為找出來的這個T並非不一定是一對一
所以當T(1,p,q)==T(-2(1,1,0)+0(0,1,1)+1(1,0,1))
(1,p,q)不一定是-2(1,1,0)+0(0,1,1)+1(1,0,1)
這樣解釋合理嗎?
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問題出在
(1,0)=(-2)*(0,1)+0*(-1,5)+1*(1,2)
其實他的線性組合的倍數，未必唯一
R2只有兩維，這裡卻有三個向量，在線性相依的情況下，你會找到無限多種倍數組合
不過這個解法還是能找到答案
只要你能猜對倍數
好像是1/3、-1/3..沒仔細算
(要從解答倒過來算)
會造成這種原因我想是因為，
R3對到R2，T不可能為1-1
所以，(1,0)可能會被很多向量對中
以致於你會求得很多不是題目要的向量
不知道回答得對不對請高手指正
小弟是覺得跟定理3關係不大
你可以看一下定理19
T:V->V'
若T:1-1
則dim(V)<=dim(V')
就是樓上rex說的
R^3到R^2不會是1-1
簡單的說
同一個y,可以由很多的x產生
所以不可以照你這樣算
再補充一些，
小弟覺得這方法有點像要倒著求T的反函數
而定理三中，給了我們一個求線性轉換的方法
但他也有個條件，
就是要基底，且基底的對應要決定
那三個向量顯然不是基底，而且也沒決定這三個向量的對應
(事實上，T的反函數也的確不存在)
此外，可能還會有個問題就是，因為不是1-1
(0,1)未必是由T(1,1,0)而來
所以小弟覺得下面
(-2)*(0,1)+0*(-1,5)+1*(1,2)
推導到這一句
(-2)*T(1,1,0)+0*T(0,1,1)+1*T(1,0,1)
好像不太妥當(不嚴謹?)
總而言之，大大的問題可能跟可逆比較有關係
不過小弟是挺欣賞這方法，感覺比較快
我認為當T可逆的時候，這樣求應該就沒問題
這個linear transformation因為基底決定了, 所以它是唯一決定, 但這個函數不可能是one-to-one (因為R3到R2), 你的解法中最後是得到T(1, p, q) = T(-1, -2, 1)並沒有矛盾, 只是因為他不是one-to-one, 所以你無法得到(1, p, q) = (-1, -2, 1)的結果, 這樣講你大概知道問題出在那了吧
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