第四版P.2-21 定理6
假設R包含於AXA為A上的一個二元關係
R具遞移性<=>R^2包含於R
pf:
R具遞移性<=>
for all a,b,c 屬於 A,若(a,b)屬於R且(b,c)屬於R,則(a,c)屬於R<=>
for all a,c 屬於 A,若(a,c)屬於R^2,則(a,c)屬於R<=> <--這步看不懂
R^2包含於R
為什麼(a,c)屬於R^2直接可以知道(a,c)屬於R??
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6 則留言:
你用合成的觀念來看
"若(a,b)屬於R且(b,c)屬於R"
就表示成(a,c)屬於R^2
EX:
A跟B有a關係
B跟C有b關係
則A與C有a.b關係
這個是等價的，可以從兩個方向來看
首先從下面那一句"R^2包含於R"來推到這句，我想這應該蠻好理解的
再從上面那一句推到這句:
因為你已經知道(a,c)屬於R^2
所以承樓上大大所說的合成，顯然(a,b)和(b,c)皆屬於R。
而上一句正好說只要(a,b)和(b,c)皆屬於R，(a,c)就屬於R，所以就造成了你所問的結果
當然也未必(a,c)屬於R^2就保證(a,b)和(b,c)皆屬於R。另外一種情況可能為R有(a,c)(c,c)，不過這種情況(a,c)也是屬於R
我想你把它的意思弄錯了，它是個命題，所以並不是說(a,c)屬於R^2=>(a,c)屬於R，應該是說當這命題對的時候=>R才具有遞移性;或者R具遞移性=>此命題是對的
命題1，對所有a,b,c屬於A，若(a,b)屬於R且(b,c)屬於R，則(a,c)屬於R
會等價於命題2，對所有a,c屬於A，若(a,c)屬於R^2，則(a,c)屬於R
因為命題1的條件(a,b)屬於R且(b,c)屬於R，等價於命題2的條件(a,c)屬於R^2
("因為你已經確定(a,b)屬於R且(b,c)屬於R，利用合成概念自然(a,c)屬於R^2;反之你知道(a,c)屬於R^2，存在(a,b)屬於R且(b,c)屬於R，使得(a,c)屬於R^2[註]a,b,c有可能為相同數)")
既然條件相同，所得到的結果(a,c)屬於R，也會相同，所以命題1<=>命題2
還有
R具遞移性<=>對所有a,b,c屬於A，若(a,b)屬於R且(b,c)屬於R，則(a,c)屬於R
這是定義
(a, c) in R^2如貴先生所說的是合成的定義, 而後面的(a, c) in R, 這個只是把上一句話抄下來而已, 就你的問題來說, 應該卡在這, 至於整個證明的概念, 其他同學都解釋得不錯了
了解了 感謝各位~
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