請問一下昨天小考第三題的正確解法是?
就是A為一投影矩陣，討論(I-A)的特徵值為何?
我第一個想法是用猜的:
就是用個2*2的單位矩陣減掉x軸投影矩陣
很顯然變成y軸投影矩陣，所以I-A特徵值為0或1
第二個想法是:
若λ為A之特徵值，則Ax=λx
然後用單位函數I乘上x去減
所以Ix-Ax=Ix-λx
整理一下(I-A)x=(I-λI)x
然後這樣去討論，答案仍為0或1
不過這顯然有兩個很大的缺點
1.(I-λI)顯然不是一個純量的特徵值
2.我預設I-A和A的特徵向量是一樣的
所以出現第三個想法是:
投影矩陣好像必定是diagonal(感覺是這樣，無法證明)
而且它的特徵值必0或1
故他的對角線必為0或1
所以，可分成下列兩種情況討論
1.A對角線全為0
I-A的特徵值必為1
2.A對角線不全為0
I-A的特徵值為0或1
我覺得我的想法都有缺陷，所以想請教大家正確的解法是?
2 則留言:
已知投影矩陣的 eigenvalues 為 0 和 1(這個考古題很多都有, 甚至要證明 V 為這兩個 eigenspace 的直和), 所以 I-A 的 eigenvalues 為 1 和 0. 簡單的證明可以這樣, 假設 k 為 I-A 的 eigenvalue, 存在非零向量 u 使得 (I-A)u=ku, 也就是 Au=(1-k)u. 所以 k 為 I-A 的 eigenvalue 若且唯若 1-k 為 A 的 eigenvalue. 因為 A 是投影矩陣, A 的 eigenvalues 只有 0 和 1, 故 I-A 的 eigenvalues 為 1 和 0.
原來這麼簡單就證明出來了
謝謝大大的解答
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