離散問題 課本P6-36 定理4

證明第三行的(2)設小於r小於k時命題成立，好像怪怪的
怎麼看都不太對
設成，r小於l時成立，這樣會不會比較好@@

線代第五章小考的第三題

請問一下昨天小考第三題的正確解法是?
就是A為一投影矩陣，討論(I-A)的特徵值為何?

我第一個想法是用猜的:
就是用個2*2的單位矩陣減掉x軸投影矩陣
很顯然變成y軸投影矩陣，所以I-A特徵值為0或1
第二個想法是:
若λ為A之特徵值，則Ax=λx
然後用單位函數I乘上x去減
所以Ix-Ax=Ix-λx
整理一下(I-A)x=(I-λI)x
然後這樣去討論，答案仍為0或1
不過這顯然有兩個很大的缺點
1.(I-λI)顯然不是一個純量的特徵值
2.我預設I-A和A的特徵向量是一樣的
所以出現第三個想法是:
投影矩陣好像必定是diagonal(感覺是這樣，無法證明)
而且它的特徵值必0或1
故他的對角線必為0或1
所以，可分成下列兩種情況討論
1.A對角線全為0
I-A的特徵值必為1
2.A對角線不全為0
I-A的特徵值為0或1

我覺得我的想法都有缺陷，所以想請教大家正確的解法是?