Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
一般positive matrix指的是所有entries皆為正的矩陣不過這裡的positive matrix指的是positive definite(確實有書會這樣寫, 不過很少)因為要是依較普遍的定義, 原敘述不會成立, 反例很好找通常類似這種正定導不等式的問題我的想法是直接由定義下手也就是說去找出一個合適的 x 藉由 (x^H)Ax > 0來得到該不等式假設 A: k × k 為正定∀i ≠ j, 欲證aii × ajj > aij^2令 x = [x1 x2 ... xk]^t其中 xt = 0, ∀t ≠ i, jxi = sqrt(ajj), xj = -sqrt(aii), 則 x^tAx = aii × (xi)^2 + 2(aij)(xi)(xj) + ajj × (xj)^2 > 0⇒ aii × ajj - 2(aij)sqrt(aii × ajj) + ajj × aii > 0⇒ 2sqrt(aii × ajj)[sqrt(aii × ajj) - aij] > 0⇒ sqrt(aii × ajj) - aij > 0⇒ sqrt(aii × ajj) > aij⇒ aii × ajj > aij^2
感謝解答，確實是個神奇證明！直接取x阿...看來正定這個性質定義成for all x，確實是很強的性質。感謝解答！
一般positive matrix指的是所有entries皆為正的矩陣
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(確實有書會這樣寫, 不過很少)
因為要是依較普遍的定義, 原敘述不會成立, 反例很好找
通常類似這種正定導不等式的問題
我的想法是直接由定義下手
也就是說去找出一個合適的 x
藉由 (x^H)Ax > 0來得到該不等式
假設 A: k × k 為正定
∀i ≠ j, 欲證aii × ajj > aij^2
令 x = [x1 x2 ... xk]^t
其中 xt = 0, ∀t ≠ i, j
xi = sqrt(ajj), xj = -sqrt(aii),
則 x^tAx = aii × (xi)^2 + 2(aij)(xi)(xj) + ajj × (xj)^2 > 0
⇒ aii × ajj - 2(aij)sqrt(aii × ajj) + ajj × aii > 0
⇒ 2sqrt(aii × ajj)[sqrt(aii × ajj) - aij] > 0
⇒ sqrt(aii × ajj) - aij > 0
⇒ sqrt(aii × ajj) > aij
⇒ aii × ajj > aij^2
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