Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
1. 題目的意思就如同解答最後一句所寫的,他希望你證明 (AB-BA)^2 與 C 具交換性i.e., ((AB-BA)^2)C = C((AB-BA)^2)2. 如果要我把hint遮起來做, 我的作法是先試2x2, 3x3, 首先利用我們在第五章所學過的方法, 假設M:nxn, 則det(M)=((-1)^(n-1))*(2n-1), 然後(1) 非對角線的部分利用觀察法, 我會直接猜隨著n變大值就會是2,-2,2,-2,...除以det(M), 所以就是((-1)^(n-1))*2 / ((-1)^(n-1))*(2n-1) = 2/(2n-1), (猜是比較快, 但其實利用Cramer's rule然後做列運算也可以分析得出答案)(2) 對角線的部分就比較簡單了, 不用猜, 利用Cramer's rule可直接知道是M_((n-1)x(n-1))的det除以M_(nxn)的det, 所以就是((-1)^(n-2))*(2(n-1)-1) / ((-1)^(n-1))*(2n-1)= -(2n-3)/(2n-1)
原來還可以這樣阿..我只想到det(M)以後就卡關了..感謝助教解答。
這題除了HINT以外有沒有別的辦法呢？技巧性太高無法自己想出來>.<
1. 題目的意思就如同解答最後一句所寫的,
回覆刪除他希望你證明 (AB-BA)^2 與 C 具交換性
i.e., ((AB-BA)^2)C = C((AB-BA)^2)
2. 如果要我把hint遮起來做, 我的作法是先試2x2, 3x3, 首先利用我們在第五章所學過的方法, 假設M:nxn, 則det(M)=((-1)^(n-1))*(2n-1), 然後
(1) 非對角線的部分利用觀察法, 我會直接猜隨著n變大值就會是2,-2,2,-2,...除以det(M), 所以就是((-1)^(n-1))*2 / ((-1)^(n-1))*(2n-1) = 2/(2n-1), (猜是比較快, 但其實利用Cramer's rule然後做列運算也可以分析得出答案)
(2) 對角線的部分就比較簡單了, 不用猜, 利用Cramer's rule可直接知道是M_((n-1)x(n-1))的det除以M_(nxn)的det, 所以就是
((-1)^(n-2))*(2(n-1)-1) / ((-1)^(n-1))*(2n-1)
= -(2n-3)/(2n-1)
原來還可以這樣阿..我只想到det(M)以後就卡關了..感謝助教解答。
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