[線代] 基底求法請益

題目1http://twpic.org/uploads2/eb8b2da3b6.jpg

題目2http://twpic.org/uploads2/5edd2e58c0.jpg

上面這兩題弄成矩陣型式，做列運算得到線性獨立後

為何題目2的Basis是從最終矩陣結果裡面的數來找(紅色框框處)

而不是像題目1的Basis，得到線性獨立後，從原本題目給的T裡面的元素來找

呢?!!!麻煩各位幫忙解惑~感謝 !!!

[離散] 台科大 97

台科大 97

http://www-o.ntust.edu.tw/~lib/pdf/Master/97/m970901.pdf

第六題

(10%) a pair of fair dice is continuously rolled until either a 1 or a 6 appears at which point the experiment stops.

What is the probability that the experiment was stopped not because of 1's appearance?

一對公平的骰子不斷骰出 ，直到一個 1點或6點出現在該實驗。

當實驗被停止並不是因為 1的緣故的機率有多少？(不知翻得對否)

在跟朋友討論許久，各種答案太多，不知多少才是正解? 懇請幫忙

A說 : 是條件機率 ，停止的緣故只有因為 1或6 ，若不是1，那機率是 1/2

B說 : 一對公平的骰子，:如果丟出1或6就停止，請問在這情況停止，不是出現1的機率是多少？
一對骰子出現1或6的機率共有11種，那其中又要不是出現1的，所以共有5/11種。

我說:
丟一對骰子 有6^2=36種可能 (一號骰子,二號骰子)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) <= 一號骰子 丟出1 (5個) 扣去(1,1)，因為出現2個1點
( ) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) <= 或是 二號骰子 丟出1 (5個) 扣重複

( ) (5,6) (4,6) (3,6) (2,6) ( ) <= 二號骰子 丟出6 (4個) 扣重複
(6,6) (6,5) (6,4) (6,3) (6,2) ( ) <= 一號骰子 丟出6 (4個) 扣重複
扣去(6,6)，因為出現2個6點

沒有1點，就是(下面2列)的8個
機率便是 8/36= 2/9

不知哪個才是題意要的答案?

[線代] 一題問題請益

http://twpic.org/uploads2/a3f14d7baa.jpg

上面這題的第一小題
Span(s)的Basis 怎麼不是
{ [ 1 2 ] [ 3 7 ] [ 1 0 ] }
{ [-1 0 ] [ -1 -1 ] [ 2 4 ] }
麻煩各位幫忙解惑一下~謝謝 !

[線代]

一、做到一個奇怪矩陣，想問說有沒有快速解eigenvalue方法..雖然可以看出具有eigenvalue 1，不過剩餘的三根就還是只能暴力法..超麻煩= =
[1 0 0 4]
[2 1 0 3]
[3 0 1 2]
[4 0 0 1] ....

二、什麼樣的矩陣稱為consistent或什麼樣矩陣稱為inconsistent？
另外，consistent矩陣無法求least square solution嗎，原因是？

三、有個符號：|→ 這是什麼意思，是指linear transformation嗎？

以上..懇請指教。

線性代數及離散數學的勘誤表已更新

1. 新增97-98離散數學試題詳解勘誤
   （2009/12/29更新，有需要的人可重新下載）
2. 新增98線性代數試題詳解勘誤

[線代] 一題問題請益

http://twpic.org/uploads2/84402e9795.jpg

麻煩各位幫忙提點解惑一下~感謝 !!!!

遞迴

請問這題遞迴怎麼解比較好?

T(n)=n^(2/3)*T(n^(1/3))+n



麻煩解答了 謝謝

邏輯問題

a. some x ,all y不等於x M(x,y)

b.all y, some x不等於y{ (M(x,y) and~T(x,y)) or(~M(x,y) and T(x,y))}

請問答案是這樣嗎?自己都有點心虛......

麻煩解答了 謝謝

[線代]

1.在老師的書上看到一個奇怪的交換..
    令W^T=[2/3 0 -1/3 2/3]，求Ax=b的least square solution，b=[1 1 1 1]^T
    A^TA=(WW^T)^T(WW^T)=WW^TWW^T=(W^TW)(WW^T)=WW^T=A
    A^Tb=WW^Tb=W^TbW=W
    請問這個是怎麼轉換的？矩陣不是不能任意調換位置嗎？還是我有沒注意到的..

2.[0 -1]
   [1  0] , T:R^2→R^2使得T的standard matrix 為A，及T(x1,x2)=(-x2,x1)，則T不具real eigenvalue。
   為什麼T在R^2上隊員點做逆時針旋轉就不具real eigenvalue？

3.If the reduced row echelon form of [A b] contains a zero row, then Ax=b has infinitely many solutions.
   (false)但我記得老師上課有分別寫出rank=n,< n....等三種情形，既然具零列不是< n，無限多解嗎？< p="">


問題有點多..還請多指教。

一個小問題

做題目碰到
( True ) AΔB=C => AΔC=B and BΔC=A
Δ是代表什麼意思阿?



麻煩解答 感謝

[離散]

1、Show that the transitive closure of a symmetric relation is also symmetric.

2、If no three diagonals of a convex octagon meet at the same point inside the octagon, into how many line segments are the diagonals divided by their intersections?
      題目大概是說求由點跟點的交集分出的線段，不過求出邊的個數(C八取2)後，就不知該怎麼求了..

3、Let Dn be the set of all divisors of a positive integer n.
      When is the poset ( Dn, | ) a complemented lattice?
      互補落的性質不是avb=I, a^b=O，要怎麼應用到 | ？

以上，請多指教。

[離散] Pigeonhole Principle

離散分類題庫 P136. 86題

Let S be a set of five positive integers the maximum of
which is at most 9, Prove that the sums of the elements
in all the nonempty subsets of S can't all be distinct

解答是考慮1 <=|A|<=3 的時候，證明就ok


可是題目說5個正整數，如果我考慮5個，
則|A| = 2^5 -1 = 31
而 1 <= sum <= 5+6+7+8+9=35
這樣就不能用鴿籠原理了耶~
(3個可以得證，5個不行這樣還算得證嗎?)

請問考試時我怎麼知道要取3個來證明~?


還有他說S集合中有5個正整數，但題目沒有說全相異，
有可能會不同嗎? 還是因為是集合所以一定相異


謝謝

Graph Theory

Determine |V| for the graphs or mltigraph G

G is regular with 15 edges

sol:

V可為 1,2,3,5,6,10,15,30

這個要如何想?

這個觀念不懂 麻煩解答一下

問題一: 我常常在書上看到有解法用到說 可以做正交對角化 就是可以做對角化

請問 可以正交對角化 為什麼就可對角化呢??

另外想問說 如果..可以做對角化 那可做正交對角化嗎???

幾題小問題

True or False (括弧內是給的答案)

(F)1.If x is an eigenvector of the matrix product AB, then Bx is an eigenvector of BA

x不等於0 , ABx=入x , => BABx=入Bx 哪裡不對呢?
(F)2.If a matrix U has orthonormal columns, then UU^T = I

(U^T)U=I => U^-1= (U^T) => UU^T= I 這又哪裡不對呢? 問題出在 orthonormal columns?
這和 orthonormal matrix有什麼不同呢?

(F)3.A least-squares solution of Ax = b is the vector Ax' in column space of A that is closest to b, so that b − Ax' <= b − Ax for all x.

這題也不大懂 least square solution (A^TA)^-1*A^T*b 跟 Ax' 有什麼關係.....



煩請解答了 謝謝

[線代] 一題題目請益

http://twpic.org/uploads2/d349121a38.jpg

上面這題
麻煩各位幫忙提點解惑一下~感謝 !!!!

[線代] 第八章-觀念

A:實空間 normal


(Ax , x) = (x , A^t x) 這有成立嘛~?(移來移去)
還是只有在復空間的時候才成立~~


如果成立的話，

證明 : A:保長度 →A:orthognal

是否就可以利用這個方法證明?
而不用Polar Identity證明。

因為老師在這邊證明是用Polar證明，課本也是，
所以我才在想是否因為不成立，所以必須用Polar證明


謝謝

98台科大數學

這題題目看不太懂..可否解釋一下該怎麼求解呢？

另外想請問，
判斷兩個矩陣相似只要判斷三步驟嗎？
1.tr(A)=tr(B)
2.Pa(x)-Pb(x)
3jordan form
不過記得在前面有講到相似的四個充分條件
tr(), det(), rank(), nullity() 不需要判斷嗎？

例：A= [1 2]              B= [5 0]
_______[3 4]__________[0 -1]     使否相似？  感謝了..

basis小問題

v1=(1,0,0)
v2=(0,1,0)
則(v1,v2) is a basis of R^2 ,老師答案給true
感覺怪怪的 如果是(1,0) (0,1)就沒問題
span(v1,v2)=(x,y,0)不等於(x,y)阿...


煩請解答 謝謝

線代第3章

(1)
w1∪w2 與w1+w2的差異我搞不清楚
我覺得以文氏圖來想 W1+W2的範圍應該是比w1∪w2 要大上很多
因為W1+W2 代表他們可以坐任意的線性組合
除了包括原本的範圍以外
以外的也有辦法湊出來

因為老師上課有上到一題
w1,w2 ⊆s V 未必w1∪w2 ⊆s V

舉例是用w1是X軸 W2是y軸 而平面上ie (1.1) 只有聯集XY軸 是生不出(1.1)的
所以原本那個V 不是整個平面 而是只含XＹ軸的２條線囉？

但是如果這樣推論
就代表了w1∪w2　即為Ｗ１＋Ｗ２的意思了嗎？
因為如果還是我上面定義的聯集的話　那就還是包含在裡面　就沒有矛盾了


(2)
s ⊆s V <=> span(s)=s 可以解釋這句話意思嗎？
ie (1.0.0) (0.1.0) 是屬於R3 等價於 span{(1.0.0) (0.1.0)}= ??????
我是想到XY平面 只是不知道他幹嘛寫S
(1.0.0) (0.1.0) 在重複出現一次代表什麼呢?

(3)95台科
w1={p(x)|p(x)=X^9 P(X^-1)}
w2={p(x)|q(x)=q(-X)}
求dim(w1∩w2)

算到後來變成
a9+a8x+......a0X^9
a0-a1x........-a9x^9

等式負號部分應該是
a8=-a1
a6=-a3
.....

可是筆記上關於負號部分卻寫著
a1=-a1
a3=-a3
......
最後推出
a0=......=a9=0
怎麼差這麼多@@" 搞不懂他負號部分怎麼可以寫成那樣


以上 懇請大家指教

[線代] - 不知道哪章節

Let T: R3→R3 , T([x y z]^t) = [x-2y 3x+z 4x+3y ]^t (^t 轉置)

Let A be the region defined by x^2 + (y-3)^2 + (z+2)^2 <=16 .

Find the volume of T(A).



請問這是哪一章節的東西阿~? 不會算


答案是給 2816/3 * 拍(3.14)


謝謝

離散小問題(ASAP)

請問長度10bit的strings
含五個連續零或五個連續一的遞洄要怎麼列??

[離散] 邏輯問題

Q1請問老師你的分類題庫10-76題：
題目中沒說x=/=y
那這樣考試的時候依然是預設x可以=y嗎？
因為這樣的話c的解答就會不一樣了

Q2:
分類題庫10-76題 (b)：
∀ x, y2, ∃1....
當中y2前面並沒有任何"∀ "與"∃"的數學符號
那請問這樣的y2應該是怎麼樣的呢？

Q3:
10-70
~(∃y){Q(x,y)}
請問y前面的negative符號是指針對y嗎？
還是連Q也會一起取negative?

[線代] - 矩陣表示法

Find the standard matrix representation for the following linear operators

1. Reflect each vector in R^2 about the line ax+by=0

2. Reflect across the line x2 = 2*x1

上面這種題目怎麼解~? 不是對應到x,y軸的

還有題目有可能給的線不通過原點嗎~?(算法不知道是不是相同)


另外請問，我在一份考卷上看到，
要求4大空間的base，R(A),C(A),N(A),N(A^t)
它給的答案R(A)是代表列空間，跟課本不一樣耶


所以這種題目，代號沒有一定摟~?


謝謝

[離散] 圖論 名詞解釋

請問一下以下幾個名詞

1. Determine the vertex connectivity of G

請問這是要算什麼阿~? 算什麼個數~? 答案: 2


2. independent set : maximal indep. set

這是找圖中完全沒有連結到的點，但補圖卻是最大的cligue ??

3. dominating set : minimal dominating set

這個是要找點還是找邊??

4. covering : minimal covering

這是說找最少的點涵蓋所有邊嗎?


不好意思，簡單的幾個問題，書上沒找到解釋~~"
老師當初上課有講但忘了


謝謝

線代小問題

A:n x n
證明 A:可逆 <==> adj(A):可逆
請問用矛盾證法最後為什麼證到"adj(A)= 零" 就得證了???

97中山數學

第三題我的算法是，因為要考慮不同字串，所以是3*3*3*2=54，不知道這樣算有沒有錯誤？

但是第七題看不太懂題目在講什麼意思..

麻煩了，感謝。

[離散] 排列組合2

不好意思再問一題，看不懂題目


Determine the number of ways of placing four nontaking rooks on the unshaded area of the
following chessboard

1: black 0:white

1 1 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 1

棋盤它是給方格，1代表格子塗黑色

thanks!

ans :160

[離散] 排列組合

Find the number of way to arrange the letters in LAPTOP so that none
of the letters L,A,T,O is in its original position and the letter P is not in the
third or sixth position


請問怎麼列式子，想用亂序or排容去做，但覺得考慮的都不夠周延



答案是給84


謝謝

97台大數學

想請問一下這兩題該怎麼解？
感謝..

離散數學

課本的10-88那四個敘述(1)跟(4)
老師當時上課有舉反例，也懂；
可是現在回過來來看卻不知道為何反方向不行了，
還請解惑，感謝。

請問這題是什麼意思呢?

Let the set A ={1,2,3,4,5,6},B=A*A,and define the relation R on B as follows:
{a,b}R(x,y) if and only if (a-b)=(x-y)


compute the partition of B,B/R




麻煩解答了 謝謝

請問一題93年台大

let v包含於R^n be a subspace. let T:R^n ->R^n, S:R^n->R^n be the linear
transformations defined respectivelt by projectiong onto and refecting across V
what are the eigenvalues and eigenvectors of T and S ,respectively?


這題我要問的是 refecting across V,這是反射什麼?搞不懂



麻煩解答了 謝謝

離散小問題(ASAP)

The following relation on N*N
(x,y)p(z,w) <==> y = w
請問這題為什麼會有對稱性呢??

(1,3)p(3,1)且(3,1)p(1,3)沒有符合"y=w"不是嗎?

Compositions of n with palindromes

grimaldi 提到這東西 page 425

後面有一題習題

Determine the number of palindromes of n , where all summands are even

(a) n =10

(b) n =12

(c) n even

為什麼n的組成數且所有summands都為偶數的解相當於求

Compositions of n/2 with palindromes

ex: 6 = 6 = 2 + 2 + 2 所以有兩個summands為even且palidromes 的組成

6/2 =3 所以求2^(3/2) // ()代表取floor

我的意思就是為什麼可看成求3組成的palidromes即可

我看不出關聯性

請助教或同學指導

離散小問題(ASAP)

R is the relation on Z x Z where (a,b)R(c,d) if a =< c
請問這個關係為什麼會沒有 "symmetric對稱性"呢??

[離散數學課本]

P4-38範例2：
    我一開始解這題是用排列組合去想C10取3*2^7+C10取4*2^6-(C10取3*C7取4*C3取3)*2 答案跟解答一樣。但想請問的是課本的解答在第(3)部分，為何c不能直接取(x^3)/3! ? 既然要求含三個a且含四個b那麼c不就確定是三個了嗎?

P4-40範例4：
    想請問這題有沒有排列組合的解法? 我完全想不出來ˊˋ

P6-61例38：
    這一題用HC求法很簡單，不過想問不知道是否有亂數的解法？感覺跟亂序排序是同一種規則，不過帶值算出的答案差好多....

以上，請多指教；感謝。

[離散] 圖論

1. Select a graph with the fewest vertices from {G : G has vertex connectivity one and edge
connectivety two}. Explain your answer.



2. Suppose that E' is an edge subset of Km,n , where m < n .
Let Km,n - E' represent the graph that is obtaind by removing E' from Km,n
Please determine min {|E'|: Km,n - E' has no complete matching}


想問一下這兩題怎麼解~?(題目本身就看不太懂了)

謝謝

離散的小問題

1.
關於3元5元郵票的強數歸
最後只要寫k-3 再加上一張郵票即可湊成K元郵票
如果改成k-5元的話 好像前面要改舉5個不重複的例子
但是最後的證明 加上一張郵票湊成K個那邊 我覺得怪怪的
為什麼不用管k-1 k-2 湊不湊得出來? 他們不是也要考慮嗎?
我想說強數歸是兩項以上所以才會有此想法

2.
97輔大的 P(A∪B)=P(A)∪P(B) 答案是false
可以舉個反例嗎? 想說power set有全部的集合 包括空集合
應該是所有組合都可以組出來才對阿?

3.
s0=0 s1=1 s2=5
Sn=2Sn-1+Sn-2-Sn-3

遇到這種拆不開的要怎麼辦阿?
看其它書上有利用生成函數的解法
但是最後還是會卡在解不出上面的方程orz

4.
p2-103 範例四
證明01之間的有理數是可數
有一段是寫
f(p/q)=f(u/v)
=>p/q=u/v
所以1-1

可是我想到0.4/0.2 還有0.1/0.05不是一樣嗎? 不清楚哪裡1-1

以上懇請大家賜教

[離散] 亂序

For the positive integers 1,2,........,n , there are 11660 derangements where 1,2,3 4 and 5 appear
in the first five position. What is the value of n?


請問一下怎麼算，原本以為是D5 * Dn-5 = 11660
結果算出來不是整數.....


可以解釋一下題意嗎?? 謝謝

離散第二章

2-46 的範例2
|A|=30 equivanlence relation R on A partions A into disjoint equivanlence classes A1 A2 A3 |A1|=|A2|=|A3| ,what is R?

想請題目是問總共有多少個等價關係嗎?
因為每個等價列各占1/3 所以個別的元素是10
為什麼算關係個數是10*10呢?
想說形成等價關係 應該有很多種可能
而且也不是10*10直接算的 應該是用分割數去算阿
英文不好 怕誤會題意

ie (1,1)......(10,10) 就是其中一種 這樣算一種等價關係


2.想問一下遞增的英文區別
像 1 ,3,5...10
1 ,2 ,3, 4...10
的英文個別是? 如果題目是說increase 是不是一定代表第一種?
還有順便問小於等於 和 小於 個別的英文

p.2-102的範例二
證明是說b=(a+1)/2
則b屬於a 且b>a
但是不是2b=a+1嗎? 我搞不懂為何是b>a orz

p-104 關於 範例五

寫出了f(a)={a} 每一個a屬於A後
可不可以寫說
接下來的對應不到
if a != b 則{a b}無法對應到 所以不是onto
老師書上證明要寫好長阿 QAQ

以上懇請大家次教了