2013-01-12

cyclic group

助教好,

想請問這題,


Verify that (Z*p, X ) is cyclic for the primes p = 7 and 11.

Ans:
Z *7 = <3> = <5>;
Z *11 = <2> = <6> = <7> = <8>

請問老師上課教的那題是 (Zn,+),但是那個公式好像換到乘不能用了,

請問這題是有其他公式還是只能用暴力法呢?謝謝!.
於

3 則留言:

  1. 線代離散助教(wynne)2013年1月12日 晚上9:37

    這裡的Z*p指的是Zp中所有非 0 的元素
    i.e., Z*p = {1, 2, ..., p-1}
    這個用暴力法找identity可以很有效率
    要檢查 a 是不是generator
    根據Lagrange's theorem,
    就只要檢查a^e是否要到e = p-1時才第一次變成單位元素
    其中 e 為就從p-1最小的因數開始試
    比方說在Z*11, 10的因數有1,2,5,10
    (1) 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^5 = 10 ≠ 1,
    所以 2 就會是generator
    (2) 3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^5 = 1 已經變成單位元素
    那 3 就不是generator

    Note: 題目如果只請你驗證它是循環群,
    那就只要找出一個generator即可
    而其實若已找出一個,
    那要找出所有的generator就很容易,
    因為有個定理是, 假設 o(a) = p-1,
    o(a^x) = p-1 <=> gcd(x,p-1) = 1
    這證明得花些篇幅談, 我就先不打了

    p.s. Bill, 要問不是黃老師書上的內容OK, 但因為數學符號每本書用的都不太一樣, 所以下次請你記得把符號定義寫出來, 否則我都得花些時間推理猜謎才能回覆... 麻煩你囉

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  2. Bill2013年1月12日 晚上11:02

    謝謝助教,又救了我一題

    我下次會記得把定義寫出來,

    不好意思讓你多花時間猜謎

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  3. James Whatt2020年1月4日 下午6:42

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