小弟這邊有幾題關於『線性代數-向量空間與子空間』這部份的問題想要請教助教與各路高手
每一題都由圖片呈現給助教與大家看
有7題，雖然題目有點多，但小弟程度差，每一題應該都是相當簡單...
拜託各位幫忙了...
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第1題
大圖：http://i.imgur.com/3mbX9.jpg
第2題
大圖：http://i.imgur.com/Eq9PA.jpg
第3題
大圖：http://i.imgur.com/Qo9pJ.jpg
第4題
大圖：http://i.imgur.com/MgGwT.jpg
第5題
大圖：http://i.imgur.com/0rEK6.jpg
第6題
大圖：http://i.imgur.com/byyGQ.jpg
第7題
大圖：http://i.imgur.com/DxHga.jpg
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...
..
.
就這7題！請大家多多指教與指導...
最後再和助教與大家說一聲謝謝！
呼 好多題 一題一題來
回覆刪除圖三
V1=(1,0,0) v2=(0,1,0) V3=(1,1,0)
個別看都LI沒錯吧
但是v3可以被V1 v2生成喔
圖四
a.是的
c.你說的那個Pn 叫做polynomial space
跟function space定義上不一樣
x^i i屬於Z+ 才是polynomial space
這邊原因是
可以找到w={0} 0為zero space
且dim(W)=0 不是無限
圖六
我記得微分有耶
積分有嗎? 這我就不太確定
是 0要送到0
恩 判斷子空間是用linear
跟linear transformation完全無關
圖7
T是一個矩陣投影在過
(0,0) (1,-2)的線上
然後因為(-5,10)在線上
所以投影後是不變的
剩下的我在想一想@@
作者已經移除這則留言。
回覆刪除圖一
回覆刪除這邊我不是很肯定
但是你上面有寫一行
s包含於s+t
t包含於s+t
=>s聯集t包含於s+t
我想這就是我們要證的
至於最小我就不知道為什麼了?
只有包含於好像還不能說是小@@
有請助教再解釋囉~
圖二
vector space是要保證0送到0吧
他是定義在line上
而line確實就像你講的有可能不會過0
圖五
那個generating set 應該只是spanning set 答案應該改成at least
關於第一題，我也有想過。
回覆刪除≦ :先當 包含等於 看吧
首先我們知道 S union T ≦ S+T
也就是說 S+T 是能夠緊緊包住S union T
接著我們我們若是Given any W ,
W也能包住S union T。接著只要證明
S union T ≦ W 即可。
e.g : 1 <= 2 (in 正整數)
1 <= x ,x=2,3,4.....
提供點想法給您參考參考
第二題:
回覆刪除e.g: n=3 , L : 3t+2 ,t+5,2t+4
let A = I_3 , I_3*(3t+2 ,t+5,2t+4)
因為對應之後L不通過原點，所以還是不對。
請問助教這樣說對吧?
打錯
回覆刪除接著只要證明
S + T ≦ W 即可。
謝謝樓上正取群的幫忙！
回覆刪除謝謝 AIdrifter 謝謝 Jeremy
我很努力的看完了...
以下是我看過大家的指導之後
一些心得與疑惑！謝謝大家的幫忙！
針對其中三題(1)(2)(6)我還有些許疑惑，希望大家指教!!!!!!!!!!
(我花了三個小時把的想化為文字......................)
我想用圖片來表示會比較方便排版 : )
第一題
http://i.imgur.com/TslHO.jpg
第二題
http://i.imgur.com/UlEm2.jpg
第六題
http://i.imgur.com/1v57P.jpg
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下面是心得：可以跳過它喔~~~~
第3題
AIdrifter大的這個例子太精巧了
V1=(1,0,0) v2=(0,1,0) V3=(1,1,0)
沒有點一下我這輩子都想不出來！
這樣我懂了！ 謝謝大家！
第4題
看來我把多項式空間和函數空間弄混了...
所以(c)選項可以舉 w={0} 這個例子
w={0}應該是指零函數吧 :)
這樣我懂了！ 謝謝大家！
第5題
原來他是說生成集...一點就通。
我懂了，謝謝！
第7題
我懂了！我之前就一直再想說他連矩陣都沒有給我...我是要怎麼算投影
想不到那一點根本在線上，投影之後還是自己
我竟然沒有想到，笨啊....
1. 認真同學, 你的方法也不是說不好, 但問題是這樣寫會顯得有點拐彎抹角, 那裡面用到太多的定理, 如果要寫得完整一些, 像是S+T=span{A∪B}還有span{A}為包含A的最小子空間這兩件事, 可能都要把證明寫出來會比較好
回覆刪除其實這裡證明的想法就和我們在證明span{S}為包含S的最小子空間的出發點是一樣的, 課本的定理對於這句話的論述事實上是"若W為V的子空間且包含S, 則span{S}⊆W", 後面這個命題imply了前面那一句話
這題也是一樣的, 因為這裡證明裡是寫"任給"一個 W 為 V 的subspace, 滿足S∪T⊆W, S+T都會包含於 W, 所以說就算是最小的 W, S+T 也會包含於 W, 對吧!? 換句話說, 因為我們證明了: 任何一個包含S∪T的V子空間(也就是W), 一定會包含S+T, 所以說, 最小的包含S∪T的V子空間也一定會包含S+T
P.S. 老師給的證明的最後兩一句話, 用到的是 W 為子空間的性質
2.
(1) 你好像把這題想得太複雜了, 我們考慮R^2就好, 假設 L 是一條在R^2上不通過原點的線, 取 A 為單位矩陣, i.e., Ax=x, 這樣即使蒐集所有的Ax, 也蒐集不到零向量, 所以蒐集所有的Ax無法構成一個子空間
(2) 0 經由linear transformation T送過去一定是0, 也就是你筆記上記的 T(0)=0, 但也有可能存在不為 0 的向量經由 T 的作用以後會變成 0, 蒐集這些T(v)=0的向量v, 就構成我們所熟悉的Ker(T)了
6.
(1) [99成大資工] 如果你沒有想要放棄證明題的話, (c)是linear transformation這個應該要會證, 就用上課教過一般證明linear transformation的方法即可, 你可以想一下, 真的想不到我再寫給你看
(2) [99中正電機] 這題的關鍵就在筆記上你要我不要看的那一句話: 這裡不是linear transformation, 是linear
這裡寫的linear, 指的是linear function, 和linear transformation沒有關係
sorry 可能我寫的不好
回覆刪除欲證 S+T 是能夠緊緊包住S union T
以上是題目要求的。
首先我們先
1.
證明S+T 能含住S union T
這你應該OK.
2.
證明S+T "是含S union T 中最小的"
要怎麼證明最小呢?我們的想法是說
我們隨便找一個w好了，
而這個w也能包含S union T 。
關鍵來了，因為W是隨便取的，他有無限多種可能
接著證明S + T ≦ W
為啥要這麼這個?因為W在小也小不過S+T
最小時是 S + T =W.
既然如此S+T不就是最小的了嗎?
辛苦打一串 看懂回一下阿
99中正電機
回覆刪除那題我也中計了
http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_function
顯然Linear function ,linear mapping
是不一樣的。但是常容易搞混。
但就針對這題而言。就回到國中的問題了
看他畫出來的圖行是不是一條線....
千萬別學了大學數學忘了 高中數學阿..= =
99中正電機
回覆刪除那題我也中計了
http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_function
In advanced mathematics, a linear function means a function that is a linear map, that is, a map between two vector spaces that preserves vector addition and scalar multiplication.
顯然Linear function ,linear mapping
是不一樣的。但是常容易搞混。
但就針對這題而言。就回到國中的問題了
看他畫出來的圖行是不是一條線....
千萬別學了大學數學忘了 高中數學阿..= =
作者已經移除這則留言。
回覆刪除謝謝大家！
回覆刪除這下子我全部弄懂了
真的很謝謝 AIdrifter,Jeremy以及助教的幫忙與解釋~~~
非常感謝你們！
謝謝！