2011-10-10

線代

1.第三版P5-49範例7
    為何要分開討論sinθ是否為0？不能直接算特徵多項式嗎？

    紅色框框的部份，為什麼cosθ± i sinθ=後面那個？


2.P5-106範例2

   第一小題怎麼知道要乘以(I-1/2E)？


3.P5-107範例3
   題目看完不知道該從何下手，雖然事後看了解答知道它在算什麼，可是我沒有完全了解遇到這題要用到怎樣的觀念去解它



麻煩助教幫我解答一下
謝謝!!


    
於

4 則留言:

  1. AIdrifter2011年10月11日 凌晨12:33

    才學書淺
    回答自己比較瞭解的部分
    2.因為idempotent
    使得E^2=E
    所以一定會想用到這性質的
    如果可以在運算中把E消掉
    不就是答案嗎?

    所以我要保留I
    令(I+E)(I+αE)=I
    I+E+αE+αE^2=I
    E(1+α)+αE^2=0
    E(1+α)+αE=0
    E(1+2α)=0
    α=-1/2



    3.的看法
    題目就有說是T^2=T了
    A^2=A => Im(A)⊕ker(A)

    也就是說sylvesters 2nd law
    的都可以用喔
    而裡面除了
    x=u-Au
    Ax=Au-(A^2)u=0
    x屬於ker(A)
    其他都指定義
    而且定義的R(A)//這邊是RS(A)
    也都沒用到

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  2. 線代離散助教(wynne)2011年10月11日 晚上9:21

    1. [第三版P5-49範例7]
    (1) 可以直接算特徵多項式, 不過這裡因為要求的是eigenvector, 那麼當我們算到p5-50的V(e^iθ)和V(e^-iθ)時, 就會發現這時候sinθ等於或不等於0必須要分開來討論, 因為這會關係到eigenspace的維度, 所以書上才把sinθ=0的case先寫到前面來

    (2) cos x + i sin x = e^(ix)
    這個是很有名的 Euler's formula

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  3. Tammy2011年10月12日 下午5:08

    再問個一下蠢問題
    P5-107範例3為何E(A)最後會等於C(A)？


    還有助教說
    "當我們算到p5-50的V(e^iθ)和V(e^-iθ)時, 就會發現這時候sinθ等於或不等於0必須要分開來討論, 因為這會關係到eigenspace的維度"
    這句話我還是不太懂:(

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  4. 線代離散助教(wynne)2011年10月12日 晚上10:45

    1. (P5-107範例3) 因為根據 E(A) 的定義, E(A)=V(1), 且因為 A 為 idempotent matrix, 根據p5-104的定理5-31, V(1)=C(A), 所以 E(A)=C(A)

    2. 如果sinθ=0, 則在p5-50的那個 A-e^iθ 就會是零矩陣, 這時就不能寫 V(e^iθ) 等於 span{[i 0]}, 因為 V(e^iθ)=C^2-{(0,0)}, V(e^-iθ)同理

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