Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
請問是會導出A(x)-x =[A(x)^2 -a_0*a_0 -2(a_0*a_1)x]/x這樣嗎 ?
和Catalan number的生成函數C(x)的導法差不多, 假設令 a0=a1=n, A(x)=Σan(x^n)[n=0~∞], 用暴力法乘一下就可以發現A(x)-a0-a1x-a2(x^2) = ((A(x)-a0-a1x)^2)/x=> A(x)-x^2 = A(x)^2/x=> A(x)=(x^2)C(x), 所以 an = c(n-2)
請問為什麼要令a0=a1=n呢另外 A(x)-x^2 = A(x)^2/x=> A(x)=(x^2)C(x)這邊的C(x)是什麼呢
請問n為什麼從0開始呢?是不是應該從3開始?還有等式右邊為什麼要除X?A(x)-a0-a1x-a2(x^2) = ((A(x)-a0-a1x)^2)/x
如果令a0=a1=0代入an好像會等於A(x)^2 的x^(n+1)項的係數所以...an之生成函數A(x)-x^2=A(x)^2/x然後之後有快速一點的解法嗎 ?由Cn平移可以推出來嗎 ?
SiG: 對, 應該是令a0=a1=0, 我打錯了, C(x)就是Catalan number的generating function, 這在你的課本或是筆記上應該都有, 兩邊比一下就可以得到 A(x)=(x^2)C(x)pai: 我令a0=a1=0, 將A(x)設為從零開始, a2=c0=1, 也就是說從n=2開始都是我們要的東西, 我在下面的A(x)-a0-a1x-a2(x^2) = ((A(x)-a0-a1x)^2)/x這邊就是由n=3開始算了, 至於為什麼除以x, 是因為 ((A(x)-a0-a1x)/x^2)^2 = (a2a2)x^0 + (a2a3+a3a2)x^1 + ...可是我們希望其實是希望他要從x^3開始, 也就是(a2a2)x^3 + (a2a3+a3a2)x^4 + ..., 所以要再乘以x^3,那麼右式就是 (x^3)((A(x)-a0-a1x)/x^2)^2= ((A(x)-a0-a1x)^2)/x
感謝回答 ^^
我看筆記C(x)是Convolution那個式子嗎 ?如果是那個的話cn似乎是等於A(x)^2的x^n項的係數 @@ ?那是等於a_0a_n+...+a_na_0可是Catalan Number的Cn好像是an=a_0a_n-1+...+a_n-1a_0然後求其generating function的x^n係數這樣子好像有點怪怪的請問哪裡弄錯了嗎 @@ ?
請問C(x)就是(1-(1-4x)^(1/2))/2x這個東西嗎 ?因為課本和筆記好像都沒有一個明確的寫明C(x)為Catanlan Number之generating function 然後列出一個明顯的C(x)=...然後A(x)-x^2 = A(x)^2/x=> A(x)=(x^2)C(x)這一步的推導是由A(x)-x^2 = A(x)^2/x->A(x)=((1-(1-4x)^(1/2))/2)x和原本的C(x)=(1-(1-4x)^(1/2))/2x比較之後得到的嗎 ?
yes, 你最後寫的那一段就是答案
請問是會導出
回覆刪除A(x)-x
=[A(x)^2 -a_0*a_0 -2(a_0*a_1)x]/x
這樣嗎 ?
和Catalan number的生成函數C(x)的導法差不多, 假設令 a0=a1=n, A(x)=Σan(x^n)[n=0~∞], 用暴力法乘一下就可以發現
回覆刪除A(x)-a0-a1x-a2(x^2) = ((A(x)-a0-a1x)^2)/x
=> A(x)-x^2 = A(x)^2/x
=> A(x)=(x^2)C(x), 所以 an = c(n-2)
請問為什麼要令a0=a1=n呢
回覆刪除另外 A(x)-x^2 = A(x)^2/x
=> A(x)=(x^2)C(x)
這邊的C(x)是什麼呢
請問n為什麼從0開始呢?
回覆刪除是不是應該從3開始?
還有等式右邊為什麼要除X?
A(x)-a0-a1x-a2(x^2) = ((A(x)-a0-a1x)^2)/x
如果令a0=a1=0代入
回覆刪除an好像會等於A(x)^2 的x^(n+1)項的係數
所以...
an之生成函數A(x)-x^2=A(x)^2/x
然後之後有快速一點的解法嗎 ?
由Cn平移可以推出來嗎 ?
SiG: 對, 應該是令a0=a1=0, 我打錯了, C(x)就是Catalan number的generating function, 這在你的課本或是筆記上應該都有, 兩邊比一下就可以得到 A(x)=(x^2)C(x)
回覆刪除pai: 我令a0=a1=0, 將A(x)設為從零開始, a2=c0=1, 也就是說從n=2開始都是我們要的東西, 我在下面的A(x)-a0-a1x-a2(x^2) = ((A(x)-a0-a1x)^2)/x這邊就是由n=3開始算了, 至於為什麼除以x, 是因為
((A(x)-a0-a1x)/x^2)^2
= (a2a2)x^0 + (a2a3+a3a2)x^1 + ...
可是我們希望其實是希望他要從x^3開始, 也就是
(a2a2)x^3 + (a2a3+a3a2)x^4 + ..., 所以要再乘以x^3,
那麼右式就是
(x^3)((A(x)-a0-a1x)/x^2)^2
= ((A(x)-a0-a1x)^2)/x
感謝回答 ^^
回覆刪除我看筆記C(x)是Convolution那個式子嗎 ?
回覆刪除如果是那個的話
cn似乎是等於A(x)^2的x^n項的係數 @@ ?
那是等於a_0a_n+...+a_na_0
可是Catalan Number的Cn
好像是an=a_0a_n-1+...+a_n-1a_0
然後求其generating function的x^n係數
這樣子好像有點怪怪的
請問哪裡弄錯了嗎 @@ ?
請問C(x)就是(1-(1-4x)^(1/2))/2x
回覆刪除這個東西嗎 ?
因為課本和筆記好像都沒有一個明確的寫明
C(x)為Catanlan Number之generating function 然後列出一個明顯的C(x)=...
然後A(x)-x^2 = A(x)^2/x
=> A(x)=(x^2)C(x)
這一步的推導
是由A(x)-x^2 = A(x)^2/x
->A(x)=((1-(1-4x)^(1/2))/2)x
和原本的C(x)=(1-(1-4x)^(1/2))/2x
比較之後得到的嗎 ?
yes, 你最後寫的那一段就是答案
回覆刪除感謝回答 ^^
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