(b) 小題的題目是
" find a function y from the subspace S1 such that || y - x^1/2|| in minimal "
1、這裡的 function 是指？
2、S1 是 spaned by 1 ， 印象中我用y= 1/4 代入 || 1-x^1/2 || 出來的答案是 0 。
書上的答案是 2/3 是用 1 跟 x^1/2 做內積。 可是不一定要用 1 吧？ span(1 )
的話。應該是 c*1 , c屬於 R 都是 span(1)吧？
我那邊誤會題目了？
先謝謝大家的回答！
任取S1裡的向量, 算出來都會是2/3
回覆刪除若用垂直觀念去想
y-x^1/2只要和S1的基底垂直
則和整個S1都會垂直
同樣當我們在代正交投影公式時
也只用到orthgonal basis而已
並沒有對所有空間中的向量作用, 所以取1即可
我補了一張圖上去，這樣比較好說明。
回覆刪除我的想法是…y任取S1裡的向量，算出來的結果不一定是2/3吧？
如圖所示，||y-x^1/2 || 要最小的話。y 應該是要取 proj(x^1/2) on S1 ，可是這個 y 不一定是 S1的基底？
想法有錯麻煩請指正 :)
y-x^1/2不是要和y垂直, (它是會垂直沒錯)
回覆刪除但概念上其實是要和S1垂直, 才會找到y
所以那個1的意思不是取y=1, 而是取一組basis
另討論任取basis時, proj會不會相等:
<y-x^1/2,1>=0, 若1改取其他值,
假設用a代入 => <y-x^1/2,a>=0
=> ∫(y-x^1/2)a dx =0
=> ∫ay-ax^1/2 dx =0
=> ayx-(2/3)ax^(3/2) =0 |從0到1
=> ay*1-(2/3)a*1^(3/2) =0
=> ay = (2/3)a*1^(3/2)
=> y = 2/3
若是算projection on S1
y = Proj = (<x^1/2,a>/<a,a>)a
那個a到最後也會消掉
所以
回覆刪除所以書上的 2/3 是指 proj 的值。
回覆刪除我以為是指 || y - x^1/2|| 的值。
冏~ 我誤會了..
謝謝你很清楚的回答..^^..