Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
嗯。我用 A為3×3 的矩陣舉例吧，n階的也是可以比照辦理 :) 順便送上 tr(A) = 特徵根的和 證明p(λ)=det(A-λI)=(λ-λ1)*(λ-λ2)*(λ-λ3)=(-1)^3*λ^3+(-1)^2(λ1+λ2+λ3)λ^2 +…+ λ1*λ2*λ3←(1)p(λ)=det(A-λI)=(a11-λ1)*(a22-λ2)*(a33-λ3)+g(λ)=(-1)^3*λ^3+(-1)^2(a11+a22+a33)λ^2+…+G(λ) ←(2)degree g(λ)<1∵ (1) = (2) ∴ tr(A)=a11+a22+a33=λ1+λ2+λ3再來看第(1)式。若 det(A-λI) 中Let λ=0 => det(A-0I)=det(A)=λ1*λ2*λ3故得證。第一次po證明，希望你看得懂。
不知道我這樣證明可不可以！PA(X)= (-1)^n * X^n + (-1)^(n-1) * Tr(A)*(-X)^n-1 +…+det(A)PA(0)=det(A)----------(I)若PA(X):可split over F.則PA(X)=(λ1-x)(λ2-x)…(λn-x)=>PA(0)=λ1*λ2*…*λn -------(II)所以(I)=(II)PA(0)=det(A)=λ1*λ2*…*λn 不知道這樣證明可不可以，我爛爛的= =+所以是不是要PA(X)可split才成立?不過這在課本上[LA第三版P5-65]有。
一樓的證明不是很正確, 如果你想以 3x3 為例, 那麼你必需使用 induction 並以 n=3 為 base 去證明 nxn 也對, 才算一個完整的證明.黃小米的話, 差不多是這樣, 只欠有邏輯性的敘述(其實邏輯性的敘述才是最重要的:p).令 A:nxn matrix, f(x): characteristic poly. of A. 假設f(x) = (-1)^nx^n + ... + a_1 x + a_0=> f(0) = a_0.By def of f, f(x) = det(A-xI), 故 f(0)=det(A). i.e., det(A)=a_0.trace 的話, 假設大家會證 trace(AB)=trace(BA).那麼 將 A 化成 Jordan form( or 對角化), 假設 P^{-1} A P = J_A, 則 J_A 的對角線元素即為 A 的 eigenvalues, 所以我們有trace(P^{-1} A P ) = trace(J_A)因為 trace(P^{-1} A P) = trace(A)所以 trace(A)=trace(J_A) 即 eigenvalues 的和.
對不起，我資質比較爛= =+邏輯性的述敘是哪一段啊= =+我看不出來 =_______=
hi, 別這麼妄自菲薄, 有點信心..你的說明中 PA(X)= (-1)^n * X^n + (-1)^(n-1) * Tr(A)*(-X)^n-1 +…+det(A)最末項是 det(A) 這是根據 你的 PA(x)= det(A-xI) 來的, 如果你在 PA(X) 展開式中直接將最末項寫為 det(A)而並沒有用到 det(A-xI), 那代表你已經知道 det(A)=λ1*λ2*…*λn 了, 就造成了循環論證了.關於 split, 當 F=C 的時候, 一定 split, 這相信大家應該知道了.
這個定理在第四節P5-65, 一般會認為在eigenvalue那一節, 不過因為它用到split的條件, 所以放到對角化那一節, 至於split的條件, 如你們討論的, 不用太在意, 把矩陣推廣到複數即可
抱歉有誰可以解釋一下 為什麼特徵根n次方合 會等於tr(A^n) 感恩
嗯。我用 A為3×3 的矩陣舉例吧，
回覆刪除n階的也是可以比照辦理 :)
順便送上 tr(A) = 特徵根的和 證明
p(λ)=det(A-λI)
=(λ-λ1)*(λ-λ2)*(λ-λ3)
=(-1)^3*λ^3+(-1)^2(λ1+λ2+λ3)λ^2 +…+ λ1*λ2*λ3←(1)
p(λ)=det(A-λI)
=(a11-λ1)*(a22-λ2)*(a33-λ3)+g(λ)
=(-1)^3*λ^3+(-1)^2(a11+a22+a33)λ^2
+…+G(λ) ←(2)
degree g(λ)<1
∵ (1) = (2)
∴ tr(A)=a11+a22+a33=λ1+λ2+λ3
再來看第(1)式。
若 det(A-λI) 中
Let λ=0 => det(A-0I)=det(A)=λ1*λ2*λ3
故得證。
第一次po證明，希望你看得懂。
不知道我這樣證明可不可以！
回覆刪除PA(X)=
(-1)^n * X^n +
(-1)^(n-1) * Tr(A)*(-X)^n-1 +
…
+det(A)
PA(0)=det(A)----------(I)
若PA(X):可split over F.
則PA(X)=(λ1-x)(λ2-x)…(λn-x)
=>PA(0)=λ1*λ2*…*λn -------(II)
所以(I)=(II)
PA(0)=det(A)=λ1*λ2*…*λn
不知道這樣證明可不可以，我爛爛的= =+
所以是不是要PA(X)可split才成立?
不過這在課本上[LA第三版P5-65]有。
一樓的證明不是很正確, 如果你想以 3x3 為例, 那麼你必需使用 induction 並以 n=3 為 base 去證明 nxn 也對, 才算一個完整的證明.
回覆刪除黃小米的話, 差不多是這樣, 只欠有邏輯性的敘述(其實邏輯性的敘述才是最重要的:p).
令 A:nxn matrix, f(x): characteristic poly. of A. 假設
f(x) = (-1)^nx^n + ... + a_1 x + a_0
=> f(0) = a_0.
By def of f, f(x) = det(A-xI), 故 f(0)=det(A). i.e., det(A)=a_0.
trace 的話, 假設大家會證 trace(AB)=trace(BA).
那麼 將 A 化成 Jordan form( or 對角化), 假設 P^{-1} A P = J_A, 則 J_A 的對角線元素即為 A 的 eigenvalues, 所以我們有
trace(P^{-1} A P ) = trace(J_A)
因為 trace(P^{-1} A P) = trace(A)
所以 trace(A)=trace(J_A) 即 eigenvalues 的和.
對不起，我資質比較爛= =+
回覆刪除邏輯性的述敘是哪一段啊= =+
我看不出來 =_______=
hi, 別這麼妄自菲薄, 有點信心..
回覆刪除你的說明中
PA(X)=
(-1)^n * X^n +
(-1)^(n-1) * Tr(A)*(-X)^n-1 +
…
+det(A)
最末項是 det(A) 這是根據 你的 PA(x)= det(A-xI) 來的, 如果你在 PA(X) 展開式中直接將最末項寫為 det(A)而並沒有用到 det(A-xI), 那代表你已經知道 det(A)=λ1*λ2*…*λn 了, 就造成了循環論證了.
關於 split, 當 F=C 的時候, 一定 split, 這相信大家應該知道了.
這個定理在第四節P5-65, 一般會認為在eigenvalue那一節, 不過因為它用到split的條件, 所以放到對角化那一節, 至於split的條件, 如你們討論的, 不用太在意, 把矩陣推廣到複數即可
回覆刪除抱歉有誰可以解釋一下 為什麼特徵根n次方合 會等於tr(A^n) 感恩
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