2007-07-25

矩陣可逆 true or false

1.if A 可逆且AB=AC
=> B=C
2.if A可逆且 AB=A^2+2A
=> B=A+2I
3.if A可逆
=> AB(A^-1)=B 且 ABC(A^-1)=BC

這三個命題是否因為矩陣可逆而具有消去性、交換性 所以三題答案都是True?
於

25 則留言:

  1. peter2007年7月25日 晚上10:59

    矩陣的交換性、消去性，不一定會成立...

    所以我覺得應該想成，兩邊同乘 "A的inverse"，再利用結合性，所以(1),(2)兩題為True

    第三題應該是 False，因為矩陣交換性不一定成立

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  2. peter2007年7月25日 晚上11:06

    順便問個類似題...
    春季班第一章小考

    If AB=AC and A is nonsingular, then B=C

    這題是T or F?
    題目沒說 A是否為方陣，所以應該無法用可逆來證吧?
    但是反例又想不出來　　@_@

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  3. Janja2007年7月25日 晚上11:21

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  4. peter2007年7月25日 晚上11:36

    若A是nosingular 且A要是方陣，則A才會可逆

    所以 "假設A是mxn矩陣，A is nonsingular =>A是可逆 "，應該會有問題

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  5. jonesyeah2007年7月26日 凌晨12:20

    第三題是我自己掰出來的,我原本的想法是:
    AB(A^-1) 因為A可逆,所以AB=BA
    原式=BA(A^-1)=B
    ABC(A^-1) 因為A可逆,所以AB=BA C(A^-1)=(A^-1)C
    原式=BA(A^-1)C=BC
    不過後來我發現我定義弄錯了.
    我把定理1-6錯看成A可逆的話AB=BA
    這式成立前提是B要是A的inverse

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  6. 智2007年7月26日 凌晨12:23

    TO:janja

    peter說得沒錯，感覺方向好像怪怪的。
    nonsigular+方陣=invertible
    因此方陣時，invertible<=>nongigular。
    但非方陣時，nonsigular不見得是invertible，換句話說invertible保證nonsigular，但nonsigular不保證invertible。

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  7. jonesyeah2007年7月26日 凌晨12:25

    對..一定要是n*n矩陣,且該矩陣與其inverse相等,叫做nonsingular.

    nonsingular定義是該矩陣具有零解.
    所以有可能不為方陣.

    if n*n matrix 且 可逆 =>nonsingular
    但nonsingular =\=> 可逆 因有可能不是方陣

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  8. 智2007年7月26日 凌晨12:28

    我的想法與你們不太一樣，但不知我這樣證對不對，我自已感覺心理毛毛的=.=，可能我經驗也不夠吧╯﹏╰

    definition：
    AX=0，X只有0解，稱A：nonsigular

    proof：
    已知A：nonsigular
    若AB=0=AC
    =>B=0 and C=0
    =>B=C
    得證。不知會不會不當使用:P

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  9. 智2007年7月26日 凌晨12:32

    其怪我的帳號怎麼還沒審核通過呀!
    有好多問題不懂要問喔╯﹏╰

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  10. Janja2007年7月26日 凌晨12:45

    恩恩，我那樣證的確是錯的，沒有想清楚。

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  11. jonesyeah2007年7月26日 凌晨1:45

    to:般若三昧

    definition：
    AX=0，X只有0解，稱A：nonsigular

    proof：
    已知A：nonsigular
    若AB=0=AC
    =>B=0 and C=0
    =>B=C
    具有0解應該不能代表AB=0喔...應該是這樣子...

    --
    If AB=AC and A is nonsingular, then B=C
    剛跟同學討論這題的結果:
    A是nonsingular,但他不一定為方陣,所以不可逆,但他具有0解的話,因為m＜n的矩陣解為無限多種,所以此矩陣m＞n.根據定理4-27所以他具左反,所以剛好可以在等式兩邊的前面加上A^-1 所以B=C
    囧..是這樣嗎?

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  12. 智2007年7月26日 凌晨2:53

    我覺得會不會是我們想太多了呀，其實跟本有可能是題目少給了條件。因為我在網路上也有看到同樣的題目耶。

    它是一個連鎖命題，題目是：
    (1)Prove that if one row(column) of the n×n matrix A consists entirely of zero then A is singular

    (2)Show that if AB=AC and A is nonsigular then B=C

    solution：
    (A^-1)AB=(A^-1)AC
    => IB=IC
    => B=C

    也就是說從第一小題就繼承下來第二小題了，第一小題早就告訴我們A is nxn matrix了。而第二小題又知A is nonsigular & A：nxn <=> A：invertible

    我覺得當初這考題好像是從哪copy過來的，但忘了加上條件耶。假如是如此的話，那當初算對的人真是神了！他一定是把invertible<=>nonsigular了，剛好賽到就對了。不然沒給A：nxn，應該是無解吧！把自已搞得進入到infinite loop，我想到頭都快爆炸了。無言...
    ╯﹏╰

    至於是不是真的少給條件，我不知。但我看到的案例是有給的A：nxn

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  13. Janja2007年7月26日 凌晨3:08

    我有寫我的證明在word裡，不過要把它弄成圖片檔好難，所以我只好放到網路空間，麻煩各位，下載看看我的證明對不對 http://mail.cs.nchu.edu.tw/~s9356033/question.doc
    (直接把它貼到瀏覽器的網址就可以下載了)

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  14. Janja2007年7月26日 凌晨3:13

    我的證明是peter問的那題
    If AB=AC and A is nonsingular, then B=C

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  15. 智2007年7月26日 凌晨3:33

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  16. Kyle2007年7月26日 下午1:46

    首先; 要注意的是對 nonsingular 的定義, "只有零解這句話"的前面是有個前提的, 就是"Ax=0". 也許大家都知道有這個前提, 不過在說明的時候, 最好說明完整, 以免其他閱讀的人誤會.

    再來; 我們知道 AB=AC => AB-AC=0 => A(B-C)=0. 所以 A is nonsingluar 可以讓我們得到 B-C=0.

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  17. Alan.Zheng2007年7月26日 下午6:41

    非奇異矩陣就是可逆矩陣

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  18. 智2007年7月26日 晚上10:03

    If AB=AC and A is nonsigular then B=C

    pf：
    A:nonsigular<=>AX=0，X只有0解

    AB=AC
    =>AB-AC=0
    =>A(B-C)=0
    =>∵A is nonsigular
    =>B-C=0
    =>B=C

    了解了，當初沒想到"移項"過去~.~
    謝謝"凱"指點迷津.

    tO:c
    非奇異矩陣怎麼可能就是可逆矩陣呢？非奇異矩陣有可能是mxn，一個m≠n矩陣絕不可能同時有左右反。但予許一個左反or右反。 即然都m≠n還有可能是可逆呢？你說錯了吧

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  19. 黃子嘉2007年7月30日 凌晨1:21

    凱跟般...的觀念並沒有太大錯誤, 不過有些東西還是要說明一下, 這裡的B跟C是矩陣, 不是向量, 我再補充一下, 就A(B-C) = 0這句話來說, 因為A為nonsingular, 所以A具左反L使得LA = I, 因此LA(B-C) = 0
    => B - C = 0
    => B = C
    當然也可以把B-C利用行切再去證B-C=0, 其實觀念都是一樣的

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  20. 黃子嘉2007年7月31日 凌晨2:46

    word要貼圖很簡單
    step 1: 在word按ctrl A, 後按ctrl C
    step 2: 開小畫家按ctrl V
    step 3: 存成gif或jpeg檔

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  21. Wei-Wen Hsu2007年7月31日 凌晨2:49

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  22. Wei-Wen Hsu2007年7月31日 上午9:24

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  23. Alan.Zheng2007年8月1日 下午4:27

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  24. Alan.Zheng2007年8月1日 下午4:30

    我剛在網路上查了一下

    反矩陣的定義:
    一n*n矩陣A為可逆(invertible)或為非奇異(nonsingular)，若存在一n*n矩陣B，使得
    AB=BA=I
    在這裡I為一n階單位矩陣。矩陣B被稱為A的反矩陣。沒有反矩陣的矩陣被稱為不可逆(noninvertible)或奇異(singular)。

    請問非奇異的定義是如上呢?
    還是nonsingular定義是該矩陣具有零解.
    所以有可能不為方陣

    謝解惑 謝謝

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  25. 亞森2007年8月15日 晚上8:43

    To C
    你網路上查的沒有錯

    1.可逆矩陣必為方陣,方陣不一定
    為可逆矩陣.
    反矩陣必為方陣且可逆.

    2.nonsingular矩陣可以有左反或
    右反或左右反,所以不一定是方陣

    3.nonsingular定義
    (上課筆記)
    <=>
    AX(向量)=0只有零解,稱A為
    nonsingular,A對所有X相乘都
    必須滿足零矩陣

    4.A:singular定義(上課筆記)<=>
    存在X不等於向量0使得
    AX=0,AX=0具非零解

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