2012-06-15

[離散] (0,1)為不可數集 

Dear

有點不太理解如何判斷不可數集
對(0,1)區間的例子還真的有點不能接受XD
所以試了一下


如果我先從小數位數最小的開始編號
小數1位數的有10個
小數2位數的有90個
到第i位數前, 會產生 10^(i-1)個
也確實寫的出close form
這樣的想法是否有沒考慮到的地方?

B.R. :)
於

2 則留言:

  1. 黃子嘉2012年6月15日上午11:25

    還是一樣利用對角線論證法可以矛盾您的列法

    假設您的tree是BFS搜尋, 那您列的次序為

    0.1
    0.2
    ...
    0.9
    0.01
    0.02
    ...
    0.09
    ...

    跟上課證的一樣, 仍然可以證明至少一個數

    您沒列到, 那問題的關鍵在那?

    應該是您給了一個不正確的假設條件

    就是任意(0,1)中的一個實數皆可用有限個

    小數來表示, 例如0.3412, 那您可以在樹

    的某一個點找到0.3412, 不過假設我們以

    實數的角度來看, 像Sqrt[2]/2這個無理數

    您就沒列到了, 也就是說您所列的其實都是

    Q ^ [0, 1]的點(^是交集), 它本來就是

    countable set

    其實我們不需要那麼大, (0,1)區間由1與2

    所構成的所有小數您就列不完了

    0.1,0.2,0.11,0.12,0.21,0.22,...(?)

    還是一樣, 對角線論證法

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  2. 呆奇士2012年6月16日清晨5:00

    Dear 黃老師

    我好像能接受了
    去接受無理數這個無理的存在XD

    不過~這讓我想問另一個問題
    1. 循環整數 屬於 整數 嗎?
    2. 有沒有存在無理整數
    如果有個 f:
    小數1位 對到 整數1位
    小數2位 對到 整數2位 ...
    好像離題了

    所以, 我把它理解成定義域的問題
    如果哪天"找到"無理整數, 那麼
    X = 有理整數 + 無理整數
    到時, 無理整數也是不可數集囉(對角線論證法)~

    感謝您的回覆

    B.R. :)

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