Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
您好：(a)S12和S23的聯集是否是向量空間？ Ans:No，取S12中的向量q1+q2、取S23中的向量q3-q2，則以上取的兩個向量屬於S12和S23的聯集、但(q1+q2+q3-q2)=q1+q3不屬於S12和S13的聯集(q1+q3不屬於S12也不屬於S23)，所以聯集不具「封閉性」，故不為向量空間。(b)S12和S23的交集是否是向量空間？ Ans:Yes，以下證明的想法是要證明S12和S23的交集為S12和S23的子空間，若是子空間則為向量空間，如此可以不用證十件事。令向量u,v屬於S12和S23的交集、a,b為兩個實數：(1)零向量屬於S12和S23(2)S12和S23的交集包含於S12和S23(3)因為u,v屬於S12和S23的交集，所以u,v同時屬於S12和S23，因為S12和S23是子空間，所以兩者均為向量空間。au+bv屬於S12(因為S12是向量空間，具封閉性)且au+bv屬於S23(因為S23是向量空間，具封閉性)，所以au+bv屬於S12和S23的交集，所以S12和S23的交集具封閉性。由(1)(2)(3)可知S12和S23的交集是S12和S23的子空間，所以是向量空間。以上淺見..
感謝妳 可否加問C選項 補空間 都有對交 怎不能選
您好：我也有點想選C...答案是否有誤呢？
答案沒有錯, 同學們可能都忘記orthogonal complement的定義了, 只有正交還不夠喔, W的正交補空間得蒐集"所有"與W中向量垂直的向量, 所以定理是說W和per(W)一定會形成V的直和, 這裡因為S_23是二維, 所以per(S_23)一定也是二維(dim(V) - dim(W))
是阿...我也這樣懷疑著，但我找不到最後的那一個向量...
算ker(Q^t)即可
OK，我試試，感謝助教
您好：
回覆刪除(a)S12和S23的聯集是否是向量空間？
Ans:No，取S12中的向量q1+q2、取S23中的向量q3-q2，則以上取的兩個向量屬於S12和S23的聯集、但(q1+q2+q3-q2)=q1+q3不屬於S12和S13的聯集(q1+q3不屬於S12也不屬於S23)，所以聯集不具「封閉性」，故不為向量空間。
(b)S12和S23的交集是否是向量空間？
Ans:Yes，以下證明的想法是要證明S12和S23的交集為S12和S23的子空間，若是子空間則為向量空間，如此可以不用證十件事。
令向量u,v屬於S12和S23的交集、a,b為兩個實數：
(1)零向量屬於S12和S23
(2)S12和S23的交集包含於S12和S23
(3)因為u,v屬於S12和S23的交集，所以u,v同時屬於S12和S23，因為S12和S23是子空間，所以兩者均為向量空間。au+bv屬於S12(因為S12是向量空間，具封閉性)且au+bv屬於S23(因為S23是向量空間，具封閉性)，所以au+bv屬於S12和S23的交集，所以S12和S23的交集具封閉性。
由(1)(2)(3)可知S12和S23的交集是S12和S23的子空間，所以是向量空間。
以上淺見..
感謝妳 可否加問C選項 補空間 都有對交 怎不能選
回覆刪除您好：
回覆刪除我也有點想選C...答案是否有誤呢？
答案沒有錯, 同學們可能都忘記orthogonal complement的定義了, 只有正交還不夠喔, W的正交補空間得蒐集"所有"與W中向量垂直的向量, 所以定理是說W和per(W)一定會形成V的直和, 這裡因為S_23是二維, 所以per(S_23)一定也是二維(dim(V) - dim(W))
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