Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
您好： 1. 平常我們習慣以行為主，所以才會定義這樣的unitary，我相信以列觀點應該也是可行的，不過可能要試著加以證明。 2.您的意思是 B^HB分解中的B和LL^T分解中的L是否相同嗎？我認為不會一樣，L是下三角矩陣，B僅保證可逆，兩者外觀也不同。以上淺見..
1.感謝2.P8-91 例38 要求B^TB=A,書上解法是用列運算而不是用么正對角化,所以我才疑惑要求B^TB這兩種方法是選一個用就可以了嗎?因為覺得用列運算比較簡單快速
您好： 說來有點奇妙，我的書上那頁是空白的。若題目沒有要求B是什麼，應該是都可以的。但是，您可以注意到B^HB分解和LL^T分解所要求的條件是不一樣的。B^HB分解要求A normal，因為A normal 才代表A可作么正對角化，也才能作B^HB分解。LL^T分解要求的是A正定且A對稱，這樣做LDU分解時才可以分解成LL^T(前後才會互為轉置)。不知道您有沒有注意到我說的「要求的條件」呢？A normal 代表 AA^H=A^HA，這時A不一定是對稱矩陣、也不一定是正定。也就是說：A 正定且對稱 => A normal所以當滿足左側條件時，A可作LL^T分解。但這時A當然是normal，也當然可以作么正對角化，最後做到B^HB分解。不過反過來不對，A normal 不代表A 是正定且對稱，所以未必可以作 LL^T 分解。您會認為作LL^T 分解比較簡單快速是對的，不過因為 LL^T 要求的條件強很多，比較不容易達成，相對的，B^HB分解要求的條件比較弱，做起來稍微比較慢。以上總結：A可作LL^T分解 => A 可作B^HB分解以上淺見..
補充：上述寫的 A 正定且對稱 => A normal 並非代表A要normal 需要A 正定且對稱(當然，返回去是錯的)，在這我要強調的是 normal 在第八章並不難滿足，我們的第八章圍繞著「正規算子」討論，所以您想到的算子幾乎都滿足A normal(Hermitian、Skew-Hermitian、正定、正半定、么正、正交)，所以雖然在現實生活中我們不容易做么正對角化，但是在第八章中我們很容易可以作么正對角化，因為六大算子都滿足么正對角化的條件。
感謝月大詳細的解說！～
您好：
回覆刪除1. 平常我們習慣以行為主，所以才會定義這樣的unitary，我相信以列觀點應該也是可行的，不過可能要試著加以證明。
2.您的意思是 B^HB分解中的B和LL^T分解中的L是否相同嗎？我認為不會一樣，L是下三角矩陣，B僅保證可逆，兩者外觀也不同。
以上淺見..
1.感謝
回覆刪除2.P8-91 例38 要求B^TB=A,書上解法是用列運算而不是用么正對角化,所以我才疑惑要求B^TB這兩種方法是選一個用就可以了嗎?因為覺得用列運算比較簡單快速
您好：
回覆刪除說來有點奇妙，我的書上那頁是空白的。
若題目沒有要求B是什麼，應該是都可以的。
但是，您可以注意到B^HB分解和LL^T分解所要求的條件是不一樣的。
B^HB分解要求A normal，因為A normal 才代表A可作么正對角化，也才能作B^HB分解。
LL^T分解要求的是A正定且A對稱，這樣做LDU分解時才可以分解成LL^T(前後才會互為轉置)。
不知道您有沒有注意到我說的「要求的條件」呢？
A normal 代表 AA^H=A^HA，這時A不一定是對稱矩陣、也不一定是正定。也就是說：
A 正定且對稱 => A normal
所以當滿足左側條件時，A可作LL^T分解。但這時A當然是normal，也當然可以作么正對角化，最後做到B^HB分解。
不過反過來不對，A normal 不代表A 是正定且對稱，所以未必可以作 LL^T 分解。
您會認為作LL^T 分解比較簡單快速是對的，不過因為 LL^T 要求的條件強很多，比較不容易達成，相對的，B^HB分解要求的條件比較弱，做起來稍微比較慢。
以上總結：
A可作LL^T分解 => A 可作B^HB分解
以上淺見..
補充：
回覆刪除上述寫的 A 正定且對稱 => A normal 並非代表A要normal 需要A 正定且對稱(當然，返回去是錯的)，在這我要強調的是 normal 在第八章並不難滿足，我們的第八章圍繞著「正規算子」討論，所以您想到的算子幾乎都滿足A normal(Hermitian、Skew-Hermitian、正定、正半定、么正、正交)，所以雖然在現實生活中我們不容易做么正對角化，但是在第八章中我們很容易可以作么正對角化，因為六大算子都滿足么正對角化的條件。
感謝月大詳細的解說！～
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