2010-02-25

線代 證明

Let A and B be n*n matrices with property Ax=Bx for all x屬於Rn Show that A=B

這題不太會有大大會證明嗎

pai 提到...
感覺上是這樣因為所有x屬於Rn都可讓Ax=Bx取x=e_i, for i=1 to n也就是 Ae_i=Be_i =>A_i=B_i=>A和B的每一行都一樣所以A=B

若拙 提到...
我發覺 好像也不是這樣
耶假設A=[(0,-1),(0,1)]B=[(0,1),(0,-1)]x=[1,1]
則Ax=Bx但是A 不等於 B 呢
因為x是行向量相加不代表A等於B
我的看法是 false
有大大其他看法嗎?
於

5 則留言:

  1. 匿名2010年2月25日 下午3:31

    我想你可能搞錯e_i的意思了
    e_i代表只有第i個element是1
    其他都是0

    你舉的例子
    取e_1={1,0}^t
    則Ae_1不會等於Be_1

    你可以在想想看
    這題應該是true

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  2. Chesley2010年2月25日 晚上7:47

    你舉的例子並不等於喔~~"

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  3. 若拙2010年2月25日 晚上10:46

    我就是說不等於 才說FALSE?
    我邏輯出錯了嗎

    AX=Bx
    A=B
    不是錯的嗎???

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  4. 線代離散助教(wynne)2010年2月26日 凌晨1:43

    你舉的例子在此不成立是因為你只取了一個 x 使得 Ax=Bx, 可是題目的陳述是對所有的 x, Ax=Bx, 所以若你想找反例, 先決條件應該是要把所有的 x 都列出來然後說明 Ax=Bx, 只取一個 x 是不夠的; 而這裡因為pai同學的證明並沒有問題, 所以你應該也找不到反例了

    事實上這題也可以這樣證:
    若 Ax=Bx, for all x in R^n,
    => (A-B)x=0, for all x
    => A-B=0 => A=B

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  5. 若拙2010年2月26日 晚上8:24

    我好像有點懂了 因為FOR ALL

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