2010-02-27

今天99台大數學考題

A=
[1 2 3 4 5]
[6 7 8 9 10]
[11 12 13 14 15]
[16 17 18 19 20]
[21 22 23 24 25]
求det(A-I)
感覺不難....可是沒想到 囧
於

3 則留言:

  1. 黃子嘉2010年2月28日 凌晨12:15

    這一題直接用列運算應該還可以算, 另一種作法就是用eigenvalue表現定理, 可以參考題庫班講義4-56東華應數那一題的作法
    首先很容易算出rank(A) = 2
    => nullity(A - 0I) = 3
    所以A中eigenvalue 0至少出現3次
    因此A還有二個eigenvalue, 假設為a, b
    取W = span{v1 = (1,1,1,1,1)^T,
    v2 = (1,2,3,4,5)^T}
    A(v1) = -10(v1) + 25(v2)
    A(v2) = -20(v1) + 75(v2)
    取B = {v1, v2}為W的基底
    將A視為函數, 定義域縮小到W得到矩陣表示法如下
    -10 25
    -20 75
    它的行列式為-250, 此即為A的另外二個eigenvalue的乘積, 即ab = -250
    根據eigenvalue表現定理, (A - I)的eigenvalue為-1, -1, -1, a-1, b-1
    det(A-I)=(-1)(-1)(-1)(a-1)(b-1)
    =-(a-1)(b-1) = -ab + (a + b) - 1
    = 250 + tr(A) - 1
    = 250 + 65 - 1 = 314

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  2. 匿名2010年3月1日 下午4:38

    想請問一下取
    W = span{v1 = (1,1,1,1,1)^T,
    v2 = (1,2,3,4,5)^T}
    這邊是怎麼看出來的??

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  3. 黃子嘉2010年3月1日 晚上8:07

    其實這二個eigenvectors就像當年東華應數及海大資工的考題都有給hint, 所以這種作法應該有看過才會這樣用, 所以我傾向於這題直接列運算作, 因為只是算行列式, 應該還ok

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