2009-12-07

97台大數學










想請問一下這兩題該怎麼解？
感謝..
於

3 則留言:

  1. 線代離散助教(wynne)2009年12月8日 凌晨1:08

    5.
    設 [I+uu^T]^-1 = I+auu^T
    => I + auu^T + uu^T + u(u^T)auu^T = I
    => (a + 1 + a(u^T)u)uu^T = 0
    => a = -1/(1+(u^T)u)

    則 (I+2uu^T)[(I+uu^T)^-1]u
    = (I + 2uu^T)(I + -uu^T/(1+(u^T)u))u
    = (I + 2uu^T)(u + -(u^T)uu/(1+(u^T)u))
    = (I + 2uu^T)(1 - (u^T)u/(1+(u^T)u))u
    = (1 - (u^T)u/(1+(u^T)u))(u + 2(u^T)uu)
    = (1 - (u^T)u/(1+(u^T)u))(1 + 2(u^T)u)u
    = (1 - 5/6)(1 + 10)u
    = (11/6)u

    6. (設 (v^T)u 不為零)
    因為 (I+uv^T)u = u+(v^T)u = (1+(v^T)u)u
    所以 u 為 I+uv^T 相對於 1+(v^T)u 之一 eigenvector

    令 W = span{v}, per(W) = span{x_1,x_2,...,x_(n-1)}
    => (I+uv^T)x_i = x_i+u(v^T)(x_i) = x_i+0 = x_i
    => x_i 為 I+uv^T 相對於 1 之 eigenvector, i=1,...,n-1

    因為 dim({u,x_1,x_2,...,x_(n-1)}) = n
    所以所有的eigenvalue就是 1+(v^T)u, 還有n-1個1
    如果 (v^T)u = -1, 則 rank(I+uv^T) = n-1
    否則 I+uv^T 為可逆, rank(I+uv^T) = n

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  2. 匿名2009年12月8日 晚上11:33

    感謝助教，
    原來第六題可以這樣求@@

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  3. Jeremy2010年11月24日 晚上11:29

    作者已經移除這則留言。

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