2007-09-12

可逆的充要條件

老師上課的時候是講 n x n ，
那如果我這樣想的話....
A:m*n 且可逆
<=> A:行獨立 in F^(m*1)
<=> A:行基底 in F^(m*1)
<=> A:行生成 in F^(m*1) <=> CS(A)=F^(m*1) <=> dim(CS(A))=n

我上面寫的想法有錯誤的地方嗎？就是以m和n的角度去看了話...
於

12 則留言:

  1. 線代離散助教(wynne)2007年9月12日 凌晨1:59

    A:m*n可逆, m不等於n, 這種矩陣並不存在
    (A:可逆 <=> A具左右反 <=> rank(A)=m=n)

    回覆刪除
  2. 黃小米2007年9月12日 凌晨3:17

    我知道m=n
    只是我的意思是...
    假設某人身高m公分體重n公斤，
    則他要當兵m天。
    假設某人身高n公分體重n公斤，
    則他要當兵n天。
    可以得知身上的錢=身高。

    所以我的意思是...
    老師上課寫的F^(n*1)...
    那個n是不是取colum數...
    而dim(CS(A))的n取row數...

    回覆刪除
  3. 黃小米2007年9月12日 凌晨3:20

    sorry!
    可以得知他當兵的天數=身高。
    我本來是想舉例身上的錢= =+

    回覆刪除
  4. 亞森2007年9月12日 上午11:10

    To：黃小米
    若m=n的話,可是你硬要用m表示n,則(注意"")
    <=> A:行生成 in F^(m*1) <=> CS(A)=F^(m*1) <=> dim(CS(A))="m"

    所以我的意思是...
    老師上課寫的F^(n*1)...
    那個n是不是取colum數...
    而dim(CS(A))的n取row數...

    我解釋{}內的""
    { A:n*n 可逆
    <=> AX=0 只有零解
    <=> X1a1+...+Xnan=0(LI)
    <=> "A:行獨立 in F^(n*1)"
    <=> A:行基底 for F^(n*1)
    <=> A:行生成 F^(n*1)
    <=> "CS(A)=F^(n*1)"
    <=> "dim(cs(A))=n"
    }

    為什麼
    "A:行獨立 in F^(n*1)"?
    從"X1a1+...+Xnan=0(LI)"得知,因為A可逆,所以a1~an不為0 =>X1,...,Xn為0.
    A每行都獨立,每行都是n*1,所以A:行獨立 in F^(n*1)

    為什麼
    "CS(A)=F^(n*1)"
    "dim(cs(A))=n"
    因為A行生成,在取維度就是n啦

    回覆刪除
  5. 黃小米2007年9月12日 晚上7:31

    可是根據行展法則：
    A:m*n x=n*1

    則Ax=[a1 a2 ... an][x1]
    -------------------[x2]
    -------------------[ .]
    -------------------[xn]
    =x1a1+x2a2+...+xnan
    為A之行向量之LC。

    因為CS(A):{ xiai | i=1,...,n)
    所以

    A:行獨立 in F^(m*1)
    A:行基底 for F^(m*1)
    A:行生成 F^(m*1)

    dimension不就是表示基底中元素個數嗎？
    所以dim(CS(A))不就等於n?
    CS(A)應該有有n個吧？

    雖然m=n，只是我想弄清楚那個n到底是表示什麼而已!

    回覆刪除
  6. 亞森2007年9月12日 晚上10:07

    To：黃小米
    "可是根據行展法則：
    A:m*n x=n*1
    則Ax=[a1 a2 ... an][x1]
    -------------------[x2]
    -------------------[ .]
    -------------------[xn]
    =x1a1+x2a2+...+xnan
    為A之行向量之LC。

    因為CS(A):{ xiai | i=1,...,n)
    所以

    A:行獨立 in F^(m*1)"
    先問一下你根據什麼所以推A:行獨立?

    回覆刪除
  7. 黃小米2007年9月12日 晚上10:32

    A可逆!!

    我的目的不是他們是不是互為充要條件!!

    我只是要了解
    A:n*n可逆的情況下!!
    dim(CS(A))=n
    那個n是左邊的n還是右邊的n而已

    回覆刪除
  8. 亞森2007年9月13日 凌晨12:46

    To：黃小米
    因為CS(A)={AX|X:n*1}
    =>A:n*n
    =>AX:n*1
    =>所以是左邊

    回覆刪除
  9. 黃小米2007年9月13日 凌晨1:48

    謝謝啦!!

    可是我還是認為dim(CS(A))= n(右邊的)

    假設A:m*n | m=n 為可逆
    [a11 a12 ... ... a1n]
    [a21 a22 ... ... a2n]
    [a31 a32 ... ... a3n]
    [... ... ... ... ...]
    [am1 am2 ... ... amn]

    則

    =x1a1+x2a2+...+xnan
    為A之行向量之LC。

    因為CS(A):{xiai | i=1,...,n}，
    可得知CS(A)的元素各數有n個。
    所以dim(CS(A))=n。

    如果你覺得我的講法還是不對的話，
    可以提出我哪行說法有問題嗎？謝謝

    P.S 多多指教，以增強彼此實力^^

    回覆刪除
  10. 亞森2007年9月13日 清晨7:56

    "因為CS(A):{xiai | i=1,...,n}，
    可得知CS(A)的元素各數有n個。
    所以dim(CS(A))=n。"

    你的AX乘出來應該是m*1的吧,m*1所生成的行空間是F^(m*1)

    其實更正確的來說是繼承的關係,
    為什麼
    "A:行獨立 in F^(n*1)"?
    一直繼承下來
    <=> A:行生成 F^(n*1)
    A的行空間要如何生成F^(n*1)
    CS(A):{AX|X:n*1|
    <=> "CS(A)=F^(n*1)"

    四大空間定義
    A:m*n
    CS(A)={AX|X:n*1|
    定理
    A:m*n
    CS(A)是F^(m*1)的子空間

    回覆刪除
  11. 黃小米2007年9月13日 中午12:40

    我覺得你好像誤會了！
    我一直在強調Dim(CS(A))=n，
    可是你卻強調CS(A)是F^(m*1)。

    "因為CS(A):{xiai | i=1,...,n}，
    可得知CS(A)的元素各數有n個。
    所以dim(CS(A))=n。"

    我這行應該沒有表示說CS(A)裡面的元素不是m*1吧？

    w:{(1,3,5,7),(2,4,6,8)}
    假設w獨立且生成。
    Dim(w)=2，因為w裡面有兩個元素(element)。

    所以...
    "因為CS(A):{xiai | i=1,...,n}，
    且
    A:行獨立 in F^(m*1)
    A:行基底 for F^(m*1)
    A:行生成 F^(m*1)

    可得知CS(A):m*1的元素各數有n個。
    所以dim(CS(A))=n。"

    是你誤會Dimension的定義？
    還是我誤會了？

    回覆刪除
  12. 亞森2007年9月20日 晚上7:30

    你的倒數第二次回的
    " 我只是要了解
    A:n*n可逆的情況下!!
    dim(CS(A))=n
    那個n是左邊的n還是右邊的n而已 "

    你的倒數第二次回的
    " 因為CS(A):{xiai | i=1,...,n}，
    可得知CS(A)的元素各數有n個。
    所以dim(CS(A))=n。 "

    根據上面兩段話
    應該還要加上A的行向量都獨立才可以
    不過根據你上面說的
    =>" 因為A:n*n可逆的情況下!! "
    => A的行獨立
    => CS(A):{xiai | i=1,...,n}
    => dim(CS(A))=n
    A有n個行向量所生出來的行空間，所以是A的右邊n(行)
    因為CS(A)內有n列每列有1行所以CS(A)是F^(n*1)的子空間

    你最後回的
    "所以...
    "因為CS(A):{xiai | i=1,...,n}，
    且
    A:行獨立 in F^(m*1)
    A:行基底 for F^(m*1)
    A:行生成 F^(m*1)

    可得知CS(A):m*1的元素各數有n個。
    所以dim(CS(A))=n。""

    對

    回覆刪除